Faà di Bruno公式在恒等式及计数上的应用

摘要

Faàdi Bruno’ formular的相关研究一直处于停滞状态,之后,由于Faàdi Bruno在其它方面的应用,Lukacs开始将Faàdi Bruno用于数学统计学;罗曼用umbral calculus的定理对Faàdi Bruno方程进行了再论证,Constantine利用Faàdi Bruno扩展了关于集合划分的恒等式,并给出了它的概率说明,Chu利用Faàdi Bruno获得了一系列的行列式,Chou,Hsu和Shiue利用Faàdi Bruno构造了一种具有互逆性的函数,由此推导了一组恒等方程,然而并没有有关用Fáa di Bruno’s公式求组合恒等式以及进行对称群及集合分割上的组合数的研究存在。本文使用Fáa di Bruno’s公式求组合恒等式以及进行对称群及集合分割上的组合数的研究,通过Faàdi Bruno得到了各种著名组合数的恒等式,含括Catalan数,第一类及第二类Stirling数,q-二项式系数•••等,及Faàdi Bruno在计数上的应用;在第二节中,我们利用Faàdi Bruno得到了多种组合数的恒等式;在第三节中,我们由第一类及第二类Stirling数、错排数、Bell数的指数生成函数用Faàdi Bruno导出的恒等式获得这些数的组合意义,得到一些限制置换中圈结构和限制集合分割的子集大小的结果。