有限域上完全对称多项式有很多零点

摘要

有限域上多项式的零点计数问题是算术代数几何的核心问题之一.本文考虑有限域Fq上完全对称多项式的零点问题,主要结果如下:设h(x1,..., xk)∈Fq[x1,..., xk]是有限域Fq上一个m次完全对称多项式(k≥3, 1≤m≤q-3),(1)若m为奇数或者q为奇数,则多项式h(x1,..., xk)在Fqk中至少有6qk-3个零点;(2)若k≥4,则多项式h(x1,..., xk)在Fqk中至少有6(q-1)qk-4个零点.作为推论,我们证明了文献Zhang和Wan (2020)中的猜想1.7.