心距与沃尼克作图问题

摘要

1982年,William.Wernick在文[1]中提出:已知三个定点求作三角形的139个问题,文[2]中列出了悬而未决的41个问题,本文用心距公式证明问题73、问题80、问题121均为尺规作图不能问题.大家知道,仅限使用直尺和圆规的作图法称为尺规作图法.首先不加证明地给出如下结论:引理1[3]　设实数x为有理系数三次方程Ax3+Bx2+Cx+D=0　(A≠0)的根,则长度等于|x|的线段能从方程的系数出发而能用尺规作图的充要条件是方程至少有一个有理根.引理2[4]　如果既约分数rs是整系数方程p(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=0的根,则　r|an,s|a0.引理3　△ABC的三边长a、b、c满足方程x3-2px2+(4Rr+r2+p2)x-4Rrp=0.证明　a+b+c=2p,因S△ABC=rp=abc4R,则abc=4Rrp.由海伦公式S△ABC=p(p-a)(p-b)(p-c)知　r2p=(S△ABC)2p=(p-a)(p-b)(p-c)=p3-(a+b+c)p2+(bc+ca+ab)p-abc=-p3+(bc+ca+ab)p-4Rrp.整理即得　bc+ca+ab=4Rr+r2+...