浅析条件“abc=k”下的竞赛证明问题——从一道清华自主招生试题说起

摘要

问题：（2013年清华大学自主招生考试试题）已知abc=-1,a2/c＋b/c2=1,a2b＋b2c＋c2a=t,求ab5＋bc5＋ca5的值.解析：由abc=-1可设a=-y/x,b=z/y,c=x/z,代入a2/c＋b/c2=1,得x3y＋y3z＋z3x=0,故x9y3＋y9z3＋z9x3=3（x3y）（y3z）（z3x）=3x4y4z4,故ab5＋bc5＋ca5=z5/xy4＋x5/yz4＋y5/zx4=x9y3＋y9z3＋z9x3/x4y4z4=3x4y4z4/x4y4z4=3.