不等式R≥rsecπ/n的加强

摘要

1765年,数学泰斗欧拉（L.Euler）首先发现:任意一个三角形的外接圆半径R、内切圆半径r与其两圆心距d恒满足关系R2=d2+2Rr, ①从而由d2≥0,得R≥2r. ② 这就是众所周知的欧拉不等式. 1798年,欧拉的学生富斯（N·Fuss）又证明:同时有外接圆和内切圆的四边形,其外接圆半径R,内切圆半径r与其两圆心距d恒满足关系（1/（R+d）2）+1/（R-d）2=1/r2,R2=d2-r2+r（r2+4R2）1/2.据此,由d2≥0即可得R≥（2r）1/2. ③ 这便是所谓的富斯不等式. 1988年,刘健将②、③推广成:设双圆n边形（既有外接圆又有内切圆的n边形）的外接圆半径为R,内切圆半径为r,则R≥rsecπ/n. ④ 近年来,我国学者还相继给出④的多种证法,并有人将其延拓到一般多边形的情形. 我们追寻先达时贤之笔迹,通过深入分析研究发现。