一个涉及二面角的公式及其应用

摘要

命题:如图1,在三棱锥 P-ABC 中,设 PC、AC、BC 两两互相垂直,∠PDC 是二面角 P-AB-C 的平面角,设∠PDC=θ,∠PAC=θ1,∠PBC=θ2,则tg2θ=tg2θ1+tg2θ2.（※）证明:根据已知条件,应用三角形面积公式可得（（1/2）AB·CD）2=（（1/2）AC·BC）2,即AB2·CD2=AC2·BC2.由 AB2=AC2+BC2可得（AC2+BC2）·CD2=AC2·BC2.∴（AC2+BC2）/（AC2+BC1）=1/（CD2）,1/（AC2）+1/（BC2）=1/（CD2）.∴（PC2）/（AC2）+（PC2）/（BC2）=（PC2）/（CD2）,∵tg2θ1=（PC2）/（AC2）,tg2θ2=（PC2）/（BC2）,tg2θ=（PC2）/（CD2）,∴tg2θ=tg2θ1+tg2θ2.上面的（※）式揭示了三条棱 PC,PA,PB