二次型的标准形及其在几何中的应用

摘要

正交变换可以保持向量的内积和长度不变，从而保持图形的形状不变，并依此来确保变换前后图形的面积和体积不变，但计算过程较为繁杂．拉格朗日配方法可以通过较为简便的过程将二次型转化为标准形，但不能保持变换前后图形围成的面积和体积不变．为了充分利用这两种方法的优点，本文提出了与正定二次型有关的一些定理和推论，并得到了求解正定二次型面积和体积的简便方法．