注重基本方法 简单自然解题——对一道高考含参最值问题解法的探讨与优化

摘要

＜正＞一、问题提出的背景（2008年普通高等学校招生全国统一考试数学全国卷Ⅱ（文））21:设a∈R,函数f（x）=ax~3-3x~2（1）若x=2是函数y=f（x）的极值点,求a的值;（2）若函数g（x）=f（x）+f′（x）,x∈[0,2],在x=0处取得最大值,求a的取值范围。其中第二问参考答案:由题设,g（x）=ax~3-3x~2+3ax~2-6x=ax~2（x+3）-3x（x+2）当g（x）在区间[0,2]上的最大值为g（0）时,g（0）≥g（2）,得a≤6/5。反之,当a≤6/5时,对任意x∈[0,2],g（x）≤6/5 x~2（x+3）-3x（x+2）=（3x）/5（2x~2+x-105）=（3x）/5（2x+5）（x-2）≤0,而g（0）=0,故g（x）在区间[0,2]上的最大值为g（0）。