M_2(F_2)的保幂等加法算子

摘要

全矩阵模保幂等自同态的刻画,基础环从域、局部环开始,直至一般交换环、除环（[1-4]）,但均限制基础环或剩余域所含元素个数大于2。对于基础环仅为两个元素的域的情形,由于呈现一些非标准形式,至今未有任何相应的工作。本文从事这方面的探讨,首先确定2×2全矩阵加法群的保幂等自同态形式。 以F₂表示一个仅含两个元素的域,M₂（F₂）表示F₂上所有2×2矩阵所成的集合。GL₂（F₂）为M₂（F₂）中可逆矩阵全体所成的集合。以（M₂（F₂））表示 F₂上的线性空间M₂（F₂）的对偶空间（[6,§4.6]）。EndM₂（F₂）为加法群M₂（F₂）的所有自同态所成的集合。 定义 设L∈End M₂（F₂）,若由A∈M₂（F₂）,A2=A推出（L（A））2=L（A）,则称L为M₂（F₂）的保幂等算子或保幂等自同态。进而,由A≠0（A2=A）推出L（A）≠0,则称L为保非零幂等的。