关于度量投影的一些结果

摘要

设X是（实或复）域K上的赋范线性空间。M是X的闭线性子空间，令PM（ x)=｛m∈M；||x-m||=d(x,M)｝,则称PM为x到M上的度量投影，其中d(x,M)=inf/y∈M||x-y||是x到M的距离，M称为可最佳逼近（Chebyshev）的，若对↓Ax∈X，PM(x）至少含且仅含一点。若M是可最佳逼近的，定义PM的范数为||PM||＝sup｛||b||:b∈PM（x)，且||x||≤1｝易知1≤||PM||≤2，我们主要有下列结果：命题1 设X是自反Banach空间，M是Chebyshev子空间，PM线性，则||PM||<2。命题2 设M是ιp（或Lp）的闭子空间，则当p≥2时，||PM||≤1＋1／21/p，当1＜p<2时，||PM||≤1+2－1／q，其中1／p+1/q=1。命题3 设f∈X*，则N（f)=｛x∈X:f(x)=0｝是X的Chebyshev子空间的充要条件是f在S（X）上有唯一可达范数点，而有唯一的x∈S(X),使得f(x)=||f||。另外，由命题3得到了ι1和ι1n的余维数为1的闭子空间是Chebyshev的充要条件。