最大公因式的另一种求法

摘要

在《高等代数》的各种教材中,关于一元多项式的最大公因式的求法已有许多介绍,如辗转相除法,因式分解法等.但是辗转相除法书写起来颇为繁琐,即会用分离系数法,往往仍有累赘之感.因式分解法虽从理论上来讲是可行的,但实际分解每一个多项式来求最大公因式确是一件繁重的工作.本文利用矩阵的行初等变换来解决这个问题.命题1:设F为数域,f₁（x）,f₂（x）∈F（x）,令d（x）=（f₁（x）,f₂（x））,对于任取c₁·c₂≠0,φ₁（x）,φ₂（x）∈F（x）,则有:（f₁:（x）,f₂（x））=（f₂（x）,f₁（x））=(c₁f₁（x）,f₂（x）=（f₁（x）,c₁f₂（x））=（f₁（x）,f₂（x）+f₁（x）φ（x））=（f₁（x）+f₂（x）φ₂（x）,f₂（x））=d（x）证明:现只证明（f₁（X）,f₂（X）+f₁（X）+φ₁（X））=d（X）,其它类同.∵d（X）=（f₁（x）,f₂（x））∴d（x）|f₁（x）且d（x）|f₂（X）∴d（X）|（f₂（X）+f₁（X）φ₁（X））∴d（x）为f₁（x）和f₂（X）+f₁（X）φ（x）的一个公因式现设φ（x）为f₁（x）和f₂（x）+f₁（X）φ₁（x）的任一公因式,则φ（x）|f₁（x）且平φ（x）|（f₂（x）+f₁（X）φ₁（X））=φ（X）|f₂（x）∵φ（X）|d（x）∴由最大公因式的定义和d（x）的唯一性知（f₁（x）,f₂（x）+f₁（X）φ₁（x））=d（x）可将这个结论运用数学归纳法推广到n个一元多项式的情形: