算子的逆特征值在能量守恒系统中的应用

摘要

应用科学中 ,有许多问题用到了算子的逆特征值 ,如量子力学和波动现象中的逆散射问题就是典型的例子。本文首先建立能量守恒系统中的数学模型 ,并给出一类特殊的能量守恒系统的解。一般地 ,能量守恒系统的数学模型可用内积空间 H中的微分方程来描述。 x t=i Tmx,x=x(t)∈H,(1 )其中 x(t)是 H中的单参数元素族 ,是 Tm 自共轭算子。方程 (1 )的解在下述意义下是守恒的 :ddt‖ x‖2 =ddt(x,x) =(i Tmx,x) + (x,i Tmx) =0或‖ x(t)‖ =‖ x(0 )‖ =常数。对于这类系统 ,给定该系统一个已知的初值 x(0 ) =x0 ,称为“激励”,能否通过若干观察点上对此“激励”的“反应”的分析 ,对算子 Tm 作出判断 ?这类问题通常称为 (1 )的逆问题 ,它和算子 Tm 的逆特征值问题有着密切的联系 ,可通过 Tm 的逆特征值讨论该问题解的存在性 ,在一定条件下可求解。下面对一类特殊的系统 ,我们给出该问题存在的条件。设 Tm 是实对称三对角分块矩阵 ,且次对角线上的子块 Mml均可逆 ,即 :Tm=Tm1　 M m1Mm1　 Tm2 　 M m2　　　...