几类矩阵的逆特征值与广义逆特征值问题的研究

摘要

矩阵逆特征值问题广泛用于自动控制、经济、振动理论以及土木工程等，本硕士论文将系统研究如下几类矩阵的逆特征值问题与广义逆特征值问题及其最佳逼近，主要讨论如下问题：
　　 一.广义逆特征值问题与最佳逼近问题，
　　 问题I给定X∈Cn×m，∧= diag(λ1，λ2…λm)∈n×m，求矩阵A∈ S1，B∈S2，使得
　　 AX=BX∧
　　 (1) Si为自反矩阵，S2为反自反矩阵，
　　 (2) S1，S2为反自反矩阵，
　　 (3) S1，S2为埃尔米特广义汉密尔顿矩阵，
　　 (4) S1，S2为埃尔米特广义反汉密尔顿矩阵，
　　 问题Ⅱ对任意给定A，B，求A，B∈SAB使得其中SAB为问题I的解。
　　 二.逆特征值问题与最佳逼近问题。
　　 问题III给定K∈C×m，∧= diag(λ1，λ2…λm)∈Cn×m，求矩阵A∈S，使得
　　 AX=X∧
　　 (1)A为自反矩阵，且S是矩阵方程AZ=Y的解集，
　　 (2)A为反自反矩阵，且S是矩阵方程AZ=Y的解集。
　　 问题IV给定A∈Cn×m，求A∈SA使得其中SA是问题III解的集合。
　　 本文主要研究成果如下：
　　 1.利用这几类矩阵的特征值和特征向量的性质，巧妙地、合理地给出了逆特征值问题的数学描述。应用自反矩阵、反自反矩阵的表示定理及对称向量和反对称向量的性质及奇异值分解理论给出了自反矩阵与反自反矩阵广义逆特征值问题解的通解表达式，并证明了最佳逼近解的存在性与唯一性，给出了求解最佳逼近解的算法及数值例子。
　　 2.当矩阵为自反矩阵、反自反矩阵集合时，利用这两类矩阵的结构与性质，求得问题3解的表达式及其相应问题4的最佳逼近解的表达式。
　　 3.利用埃尔米特广义汉密尔顿矩阵的结构、矩阵的奇异值分解理论、矩阵的Kronecker乘积及线性方程组的求解理论得到了埃尔米特广义汉密尔顿矩阵广义逆特征值问题解的一般表达式及其最佳逼近解。再利用埃尔米特广义反汉密尔顿矩阵的表示定理将其逆特征值问题转化复对称矩阵的广义逆特征值问题来求解，最后应用复对称矩阵广义逆特征值问题结论求得了埃尔米特广义反汉密尔顿矩阵的广义逆特征值问题，最后给出了解的一般形式和最佳逼近解。

目录

文摘

英文文摘

声明

第一章 绪言

1.1 课题研究背景

1.2 本文主要工作

1.3 记号、定义

第二章 自反矩阵、反自反矩阵的广义逆特征值问题

2.1 引言

2.2 自反矩阵与反自反矩阵的广义逆特征值问题及其最佳逼近

2.2.1 几个引理

2.2.2 自反矩阵与反自反矩阵的广义逆特征值问题的通解

2.2.3 自反矩阵与反自反矩阵的广义逆特征值问题的最佳逼近解

2.2.4 算法及数值例子

2.3 反自反矩阵的广义逆特征值问题及其最佳逼近

2.3.1 反自反矩阵的广义逆特征值问题的通解

2.3.2 反自反矩阵的广义逆特征值问题的最佳逼近解

2.3.3 算法及数值例子

第三章 线性流形上自反矩阵、反自反矩阵的逆特征值问题

3.1 线性流形上自反矩阵的逆特征值问题及其最佳逼近

3.1.1 线性流形上自反矩阵的逆特征值问题的通解

3.1.2 线性流形上自反矩阵的逆特征值问题的最佳逼近解

3.1.3 算法及数值例子

3.2 线性流形上反自反矩阵的逆特征值问题及其最佳逼近

3.3.1 线性流形上反自反矩阵的逆特征值问题的通解

3.2.2 线性流形上反自反矩阵的逆特征值问题的最佳逼近解

第四章 Hermitian—广义Hamiltonian矩阵的广义逆特征值问题

4.1 引言

4.2 埃尔米特广义汉密尔顿矩阵的广义逆特征值问题及其最佳逼近

4.2.1 几个引理

4.2.2 埃尔米特广义汉密尔顿矩阵的广义逆特征值问题的通解

4.2.3 埃尔米特广义汉密尔顿矩阵的广义逆特征值问题的最佳逼近

4.2.4 算法及数值例子

4.3 埃尔米特广义反汉密尔顿矩阵的广义逆特征值问题

4.3.1 几个引理

4.3.2 埃尔米特广义反汉密尔顿矩阵的广义逆特征值问题的通解

4.3.3 埃尔米特广义反汉密尔顿矩阵的广义逆特征值问题的最佳逼近解

4.3.4 算法及数值例子

结论

参考文献

攻读硕士学位期间取得的研究成果

致谢