二阶变系数线性常微分方程解法研究

摘要

常微分方程已经成为数学领域中一项十分重要的学科，并且在求解问题，分析模型，指导实践中有着极为广泛的应用。二阶变系数线性常微分方程是常微分方程中一类十分常见的方程。但迄今为止，二阶变系数线性常微分方程的通解问题在世界上依然没有得到解决。先通过变量替换的方法对二阶变系数线性常微分方程进行降阶处理，得到非齐次问题可以转化为齐次问题进行求解的结论；接下来对齐次问题分别分析了系数是常系数和已知一个特解情况下的求解过程；最后，对于一般情形，运用函数变换将二阶问题转化为求解Raccati方程问题。由于Riccati方程已被Liouville在1841年证明不可用初等解法解得。因此，在分析Raccati方程时，分别分析了已知一个特解求通解的方式与一般情况下使用Picard函数列进行逼近求近似解的方式。通过这一系列方法，可以求得一般情况下的二阶变系数线性常微分方程的通解或近似解。