关于丢番图方程(24n)^(x)+(143n)^(y)=(145n)^(z)

摘要

指数型丢番图方程(na)^(x)+(nb)^(y)=(nc)^(z)是数论领域中非常典型的一类不定方程。设a,b,c为两两互素的正整数且满足a^(2)+b^(2)=c^(2),即当a,b,c为本原商高数时,该方程就可以写为[n(a^(2)-b^(2))]^(x)+[n(2ab)]^(y)=[n(a^(2)+b^(2))]^(z)。由于该类丢番图方程与编码理论、群论以及组合论都有着紧密的联系,因此一直以来都备受广大数学爱好者的青睐。1956年,Je''sm anowicz猜想该方程仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,2),但迄今为止这类方程还未得到彻底的解决。本文主要运用奇偶分析法、简单同余法、以及二次剩余理论等方法,证明了:对任意的正整数n,丢番图方程(24n)^(x)+(143n)^(y)=(145n)^(z)仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,2),即证明了:当(a,b,c)=(24,143,145)时,Je''sm anowicz猜想成立。