超越摄动：同伦分析方法基本思想及其应用

摘要

介绍一种新的、求解强非线性问题解析近似的一般方法——同伦分析方法．该方法从根本上克服了摄动理论对小参数的过分依赖，其有效性与所研究的非线性问题是否含有小参数无关，因此，适用范围广．此外，不同于所有其他解析近似方法，同伦分析方法提供了一个简单的途径，确保所得到的级数解收敛，从而获得足够精确的解析近似．不同于所有其他解析近似方法，同伦分析方法（HAM）提供了选取基函数之自由，从而可以选择较好的基函数，更有效地逼近问题的解．同伦分析方法为非线性问题的解析近似求解提供了一个全新的思路，为非线性问题（特别是不含小参数的强非线性问题）的求解开辟了一个全新的途径．简要描述同伦分析方法的基本思想，其在非线性力学、物理、化学、生物、金融、工程和计算数学等领域的应用举例，以及与摄动方法、Lyapunov人工小参数法、δ展开法、Adomian分解法、同伦摄动方法之区别和联系．