Ornstein-Uhlenbeck噪声驱动的布朗粒子在一维周期势中的扩散

摘要

本文研究了在内部白噪声和外部OU噪声驱动下，布朗粒子在倾斜周期势中的扩散行为；在内部OU噪声驱动下，布朗粒子在周期势与倾斜周期势中的扩散行为；并探讨了结果的物理机制。 第一部分，我们通过数值模拟研究了外部 OU噪声驱动下的布朗粒子在倾斜周期势中的扩散。数值模拟结果发现在较大偏置力下，扩散系数随外部噪声关联时间的变化为非单调函数。归因于较大的偏置力加速了粒子从势阱底部到势垒的传输，势垒顶部粒子数较多，而简谐近似下的势垒区域坐标、速度的二阶矩都是关联时间的非单调函数。偏置力不存在或较小时，这种非单单调性退化为单调减函数，这是因为粒子攀升到势垒顶部比较困难，二阶矩随关联时间的上升不能补偿势阱粒子的逃逸率随关联时间的下降。 布朗粒子的扩散系数是阻尼系数的负幂次函数，外部 OU噪声和偏置力会增加幂律的绝对值。我们提出一种新的物理机制来解释在中到大阻尼区域，偏置力使得扩散系数增强。偏置力使源势阱中的粒子移动到了势能较高、局域简谐频率较低的位置，从而态密度较高，熵增加，可等效于无偏置力系统有一个高于环境温度的有效温度。当偏置力接近但小于临界值时，发现了扩散的一些新颖行为。环境温度较小而不存在外部噪声时，扩散系数在欠阻尼状态下是温度的非单调函数。当存在较小强度的外部噪声时，扩散系数变为温度的单调减函数。在小内外部噪声强度下，扩散过程作为时间函数的平均平方位移显示出四种不同的扩散过程：热化，快速正常扩散，塌缩和渐近恢复。这些行为可以归因于粒子锁态和跑态之间的跃迁。 第二部分，我们通过数值模拟发现，当偏置力不存在时，内部 OU噪声诱导的频率与势阱底部频率耦合导致共振，表现为扩散系数与噪声的关联时间是非单调关系。而加入偏置力后，破坏了原有的共振，使原来的振动不能回复，非单调关系变为单调增函数关系。而逃逸率是关联时间的单调增函数，这就解释了我们得到的结果。对于内部噪声驱动的扩散过程，扩散系数是阻尼系数的负幂次函数，而扩散系数极值附近所对应的偏置力破坏了这种关系，在特定的小阻尼区域出现了“台阶”现象。 在克莱默斯空间扩散区逃逸理论的框架下，对定态的概率密度函数进行了有限势垒高度修正。根据势阱中的粒子动量是受限的，势垒顶部的势垒频率用一个非局域频率代替，同时对势阱和势垒进行简谐近似，我们解析推导了在内部 OU噪声驱动下布朗粒子在周期势中的逃逸率。解析结果与数值模拟结果很好相符。通过扩散系数与逃逸率的关系，给出了只考虑单跳时扩散系数的解析结果，与数值模拟结果较好相符。发展了布朗粒子的振荡逃逸理论，并在空间扩散区进行了有限势垒高度修正。所得逃逸率的解析结果与数值模拟结果很好相符。只考虑单跳时扩散系数的解析结果与数值模拟结果较好相符,两者小的误差可解释为长跳的贡献。

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第1章 绪论

1.1 布朗运动

1.2 朗之万方程

1.2.1 广义朗之万方程

1.2.2 朗之万方程的数值模拟

1.3 涨落耗散定理

1.4 白噪声与色噪声

1.5 福克-普朗克方程

1.5.1 福克-普朗克方程

1.5.2 福克-普朗克方程的求解

1.6 粒子的表面扩散

1.6.1 示踪粒子（单粒子）的扩散

1.6.2 集体扩散

1.6.3 跳跃扩散——单跳和长跳

1.7 倾斜周期势中布朗粒子的扩散

第2章 外部OU噪声驱动布朗粒子在倾斜周期势中的扩散

2.1 研究现状和意义

2.2 确定性和随机性

2.3 小噪声强度的扩散行为

2.4 本章小结

第3章 内部OU噪声驱动的布朗粒子在周期势中的扩散

3.1 布朗粒子的稳定扩散

3.3 布朗粒子的振荡扩散

3.3 布朗粒子在倾斜周期势中的扩散

3.4 本章小结

第4章 总结与展望

参考文献

攻读硕士学位期间发表的学术论文

致谢