改进的完全正矩阵判定方法

摘要

完全正矩阵是其子式全非负的一类特殊矩阵的总称.完全正矩阵在组合，概率论，随机过程，表示论和逆问题等很多数学分支中都有大量的应用，不仅如此，它在经济学领域也有着广泛的应用.因此，研究完全正矩阵具有重要的意义。
　　对完全正矩阵给出一个简单的判定方法不是一件容易的事情。要对矩阵的每一个子式进行考察其正负性非常复杂也不可行.M.Gasca等人通过对插值公式和消去法的研究，得出对矩阵化简的方法，经过一系列变换将原矩阵化为上三角矩阵，进而简化了矩阵的完全正性的判定.通过上述方法，引出了一系列矩阵的完全正性的判定方法，其中包括本文所提到的矩阵的LDU分解，矩阵的QR分解对矩阵的完全正性的判定.对原矩阵进行适当的分解，通过对其子矩阵的完全正性的判定确定该矩阵的完全正性，这也是判定矩阵完全正性的较好的方法。
　　本文由矩阵的LDU分解，QR分解以及奇异值分解入手，结合各种分解用到的不同思想方法，相应的给出在不同的矩阵分解下对完全正矩阵的判定方法.在已有的矩阵LDU分解的基础上对矩阵的完全正性的判定，得出更一般的矩阵的LU分解下的矩阵完全正性的判定定理.并详细介绍完全正矩阵在矩阵的QR分解下的一般判断形式.最后，通过对矩阵的奇异值分解的研究，将矩阵的完全正性的判定推广到矩阵的奇异值分解上。