两类椭圆型障碍问题弱解梯度在Lorentz空间中的正则性

摘要

论文探究两类椭圆型障碍问题弱解梯度在Lorentz空间中的正则性:一是研究定义在有界非光滑区域上的具有部分正则主项系数的散度型椭圆障碍问题弱解梯度的整体加权Lorentz估计;第二个是考虑具有非标准(p1，p2)增长的椭圆障碍问题弱解梯度在Lorentz空间的局部估计.论文由三个部分构成:
　　第一章综述论文的选题背景及相关问题的最新发展动态，同时引入了Lorentz空间和加权的Lorentz空间等相关概念和有关的基本事实.
　　第二章在给定障碍函数Ψ=（Ψ1，…，Ψm）∈W1，2（Ω，Rm）条件下，探究定义在非光滑区域上的线性椭圆障碍问题产生的变分不等式∫ΩAαβ(ij)DβuJDα(φ(l)-u(l))dx≥∫Ωfα(l)Dα（φi-ui）dx，在主系数是余1维可测的部分正则条件下，建立其弱解梯度在加权Lorentz空间的整体估计:‖Du‖L(p,q）ω（Ω，Rmn）≤c(‖F‖L(p,q)ω（Ω，Rmn）+‖Dψ‖L(p，q)ω（Ω，Rmn））.其假设是主系数Aαβ(ij)关于-个变量可测，其余变量有小的BMO半范数，区域Ω的边界(a)Ω满足Reifenberg光滑条件.主要采用了修正的Vitali覆盖引理和在加权Lorentz空间中Hardy-Littlewood极大函数有界性定理，以及测度理论意义下空间等价范数引理.
　　第三章探究具有(p1，p2)各向异性增长的非线性椭圆障碍问题产生的变分不等式:∫Ωdx≥∫Ωdx，弱解梯度的局部Lorentz估计:‖H(x，Du)‖L(γ,t)(BR/2)≤c‖H(x，Du)‖L1(BR)+c‖H(x，F)‖L(γ，t)（BR）+c‖H（x，Dψ)‖L(γ，t）（BR）.其中H(x，z):=|z|p1+a(x)|z|p2，1＜p1＜p2，0≤a(·)∈C0，α(Ω)，α∈(0，1].这里非线性算子A(x，Du)满足A:Ω×Rn→Rn关于x是连续的，关于梯度是z∈Rn属于C1(Rn\{0})正则的，并且满足以下非标准增长条件:{|A(x,z)|+|(a)zA(x,z)‖z|≤L(|z|p1-1+a(x)|z|p2-1),v(|z|p1-2+a(x)|z|p2-2)|ξ|2≤<(a)zA(x,z)ξ,ξ>，|A(x1,z)-A(x2,z)|≤L|a(x1)-a(x2)‖z|p2-1和|G(x,z)|≤L(|z|p1-1+a(x)|z|p2-1）.这里研究主要方法基于large-M-inequality原理，即:对于任意x∈Ω，取小的s＞0使得Bs(x)(∈∈)Ω，考虑上水平集E(λ，Bs)={x∈Bs:H(x，Du)＞λ}的某种能量衰减估计，其中我们用到了修正的Vitali覆盖，当λ增长时可以实现这个衰减估计目的，此方法起源于Colombo-Mingione的最新工作.

目录

声明

致谢

摘要

1 研究背景与现状

2 本文研究的问题及其主要结论

第二章 部分正则系数线性椭圆障碍问题整体加权Lorentz估计

1 预备知识

2 相关引理

3 主要结果及证明

第三章 非标准增长椭圆障碍问题局部Lorentz估计

1 预备知识

2 相关引理

3 主要结果及证明

第四章 结束语

参考文献

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