量子力学中的不变本征算符方法及其应用

摘要

在量子力学中，求解系统能谱是基础而重要的问题。处理此类问题的时候，人们通常使用的是Schrodinger方程，由于涉及到微分方程，很多时候不容易求解。另一方面，和Schrodinger方程同样重要的Heisenberg方程，却很少被直接用于求解能谱。经过我们研究发现，由Heisenberg的思想出发并结合Schrodinger算子，可以得出一种求解系统能谱的新方法，称为“不变本征算符方法(invariant eigen-operator method，简称IEO方法)”。此方法主要对算符进行操作，无须涉及系统的具体量子态或波函数，从而回避了复杂的微分方程，可以方便的对很多系统进行求解。本文主要内容就是介绍IEO方法的发展及其在分子物理、固体物理、量子光学和量子场论等领域的应用。 一、经过追溯Schrodinger量子化方案的起源，我们对比Schrodinger方程和Heisenberg方程，从而引入关于本征算符的方程。由于本征算符和系统能级差之间的对应关系，我们将得到可用于求解系统能谱的IEO方法。其核心思想就是陶造系统哈密顿量的不变本征算符，从而得出对应的本征值，即系统能级差，由能级差即可得到整个能谱。 二、通过求解几个相对简单的少体系统模型，演示IEO方法的基本流程和独特的便利性之后，我们将运用IEO方法来处理固体物理中比较典型的链状哈密顿量系统。由于在固体物理中，晶格振动的频率就对应于系统的能级差，可以发现IEO方法正适合于晶格振动问题的求解，并且由于晶格的周期性，可以有标准化的构造不变本征算符的思路。 三、一些结构比较复杂的哈密顿系统也可以用IEO方法来求解，如半无限原子链和奇异谐振子等模型。由于结构更为复杂，不变本征算符的构造通常需要针对系统的具体结构来进行。 四、非对易空间中的量子力学(NCQM)最近引起了超弦理论领域物理学家们的兴趣。由于不同粒子的坐标算符之间相互不对易，用通常方法求解变得困难。我们把IEO方法运用到非对易空间中，对NCQM的几个模型进行求解，发现非对易因素在这里并不造成困扰。可见IEO方法在此领域中具有相当的优越性，有望推广实用。 五、当然IEO方法远非完善，还存在相当的局限性。如何针对含时系统应用IEO方法还没有得到解决，而且和传统的Schrodinger方程求解一样，对要处理的哈密顿量的形式也有一定限制，很多问题无法用IEO方法直接解决。基于对标准IEO方法的补充，最后我们介绍一些扩展方法，如赝不变本征算符和算符微扰论等，来扩大IEO方法的适用范围。

目录

文摘

英文文摘

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第一章绪论

§1.1引言

§1.2 IEO方法的引入

§1.3 IEO方法的相关性质

参考文献

第二章少体系统

§2.1双原子系统

§2.2极化子模型

§2.3多原子分子系统

参考文献

第三章链状哈密顿量系统

§3.1一维双原子链系统

§3.2 Peierls模型

§3.3包含次近邻作用的双原子链

§3.4量子叶轮

参考文献

第四章复杂结构系统

§4.1铁磁自旋链

§4.2复合晶格系统

§4.3半无限原子链系统

§4.4奇异谐振子模型

§4.5双模多光子系统

参考文献

第五章非对易量子系统

§5.1非对易空间中的纠缠态表象

§5.2双模系统

§5.3三模谐振子系统

参考文献

第六章IEO方法的扩展

§6.1赝不变本征算符方法

§6.2 IEO方法的微扰论

参考文献

第七章总结

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