一些关于混合边界条件下Boltzmann方程边界层问题的数学理论

摘要

本文是关于硬球模型下具有物理边界条件的Boltzmann方程边界层解的数学理论。自从Boltzmann方程被建立以来，对该方程的研究迅速成为数学理论中最重要和具有挑战性的领域之一。这一方面是由于该领域存在众多有待解决的问题，另一方面是由于该领域具有丰富的物理背景和实际应用。当用Boltzmann方程描述带有边界的物理问题的时候，通常会出现厚度约为Knudsen数的边界层。因此，对于边界层问题的研究在数学上和物理上都具有非常重要的意义。
　　 在第二章中，我们分别研究了带有不同混合边界条件的Boltzmann方程边界层解的存在性。该章分为两部分，第一部分研究散射混合边界条件下，Boltzmann方程边界层解的存在性。亦即，粒子与边界碰撞之后的速度为随机的。假设解在无穷远时趋向于一个全局Maxwellian，我们可以得到解的存在性。更近一步，我们发现解的存在性依赖于无穷远处Maxwellian状态所对应的Mach数。在第二部分，我们分别研究了镜面反射和逆反射情况下解的存在性。对于正的Mach数，我们得到了类似第一部分的结论。
　　 在第三章中，我们研究散射混合边界条件下Boltzmann方程边界层解的稳定性。当无穷远处Maxwellian状态所对应的Mach数小于-1的时候，我们证明线性化算子关于时间是指数收敛的。最后，基于这个指数收敛性质，我们得到了非线性边界层问题的稳定性。