T网格上的高光滑阶样条与异度样条

摘要

T网格上的样条是一种具有局部加细功能的函数。已有的关于T网格上样条空间的理论和应用主要是基于样条次数与光滑度有较大差别的情形，如通常见到的PHT样条是T网格上的双三次C1函数。本文主要研究T网格上高光滑阶的样条空间以及T网格上的异度样条空间。
　　 论文在第一章中概述了T网格上的样条空间的产生背景、已有工作，并且介绍了T网格上的样条空间和同调代数中的相关概念及结论。然后在第二章中回顾了研究T网格上样条空间的一些经典方法以及与本文相关的工作。在第三章中利用同调代数中可分的短正合列理论具体给出了直和分解理论的两种表现形式一基于内大边的满射条件以及基于内边的满射条件。在第四章中，我们利用基于内大边的满射条件研究T网格上高光滑阶的样条空间的维数问题。在第五章中则利用基于内边的满射条件研究T网格上高光滑阶样条空间的基函数构造。我们根据不同的应用领域构造了不同性质的基函数并且把这些基函数做了一些具体的应用。另外，近来等几何分析概念的产生推动了对T网格上各种样条的研究。在这个过程中产生了一些在T网格上新定义的样条函数。从等几何分析理论分析的角度，我们在第六章中分析了直和分解理论在研究这些新定义的样条线性生成空间和对应的T网格上高光滑阶的样条空间之间差别的可行性。
　　 在第七章中我们提出了T网格上异度样条空间的概念并进行了初步的理论研究和应用。特别地，在这一章中我们对用于表达广泛存在的间断数据的一类T网格上的异度样条进行了具体的研究。给出了这类T网格上的异度样条空间的维数以及基函数构造。通过这类T网格上的异度样条在有间断特征的图片数据上的应用，我们可以看出这种样条可以更好的保持原来数据的间断特征。
　　 最后在第八章中我们总结本文，同时从T网格上高光滑阶的样条空间和T网格上异度样条空间这两个方面对未来的工作进行展望。

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摘要

插图目录

第一章 绪论

§1.1 概述

§1.1.1 几何造型中的样条空间

§1.1.2 有限元中的样条空间

§1.2 T网格上的样条空间相关概念

§1.2.1 T网格

§1.2.2 T网格上的样条空间

§1.3 背景知识

§1.3.1 齐次边界条件

§1.3.2 模与链复形

§1.3.3 模的正合列

§1.4 小结与后续内容安排

第二章 相关工作

§2.1 T网格上的样条空间的研究方法

§2.1.1 B网方法

§2.1.2 光滑余因子方法

§2.2 T 网格上的样条空间的同调理论

§2.2.1 依赖于T网格拓扑元素的向量空间

§2.2.2 同调理论

§2.3 小结

第三章 直和分解理论

§3.1协调向量空间

§3.1.1 T网格上高光滑阶样条函数空间的光滑余因子

§3.1.2 协调向量空间的定义

§3.1.3 例子

§3.2 协调向量空间的直和分解

§3.2.1 基于内大边的满射条件

§3.2.2 基于内边的满射条件

§3.3 直和分解理论与同调理论的比较

§3.4 小结

第四章 T网格上高光滑阶的样条空间的维数

§4.1 (g)m,n的定义

§4.2 内大边序的定义

§4.3 维数公式

§4.4 例子

§4.5 小结

第五章 基函数构造

§5.1 基于有限元用途的基函数构造

§5.1.1 层次基函数

§5.1.2 T网格上高光滑阶的样条函数的层次基函数

§5.1.3 例子

§5.2适用于几何造型的基函数构造

§5.2.1 S(3,3,2,2,(g)4,4)的层次基函数

§5.2.2 具有单位剖分性基函数构造

§5.3小结

第六章 LR-B样条与层次张量积样条

§6.1 LR-B样条

§6.1.1 LR-B样条定义

§6.1.2 Hand-in-Hand的LR细分

§6.1.3 LR-B样条生成的空间

§6.2 层次张量积样条

§6.2.1 层次张量积样条定义

§6.2.2 层次张量积样条生成空间

§6.3 小结

第七章 T网格上的异度样条

§7.1 异度样条

§7.2 复合PHT样条空间的维数

§7.2.1 T网格上的样条函数空间的决定集

§7.2.2 一些概念

§7.2.3 S((g)c)的维数公式

§7.3 复合PHT的基函数构造

§7.3.1 带有间断特征的分级T网格的生成过程

§7.3.2 基函数的构造

§7.4 复合PHT的应用

§7.5 小结

第八章 总结与展望

§8.1 内容总结

§8.2 研究与应用展望

§8.2.1 T网格上高光滑阶的样条空间

§8.2.2 T网格上的异度样条空间

参考文献

作者攻读博士期间完成论文