二次曲面的有理双二次表示

摘要

二十世纪六十年代发展起来的计算机辅助几何设计(Computer Aided Geometric Design，CAGD)技术，是一门研究几何数据的计算机表示、分析、处理等相关内容的学科，在计算机辅助设计与制造(Computer Aided Design and Computer Aided Manufacturing，CAD&CAM)、计算机图形学等领域中发挥着举足轻重的作用。计算机辅助几何设计的核心内容之一是研究曲线／曲面的表示方法，包括Bézier曲线／曲面、B-样条曲线／曲面及非均匀有理B-样条(NURBS)曲线／曲面等，其基本思想是利用分片低阶函数来表示复杂的几何数据。在实际工业设计领域中，工程师大量使用二次曲面作为基础的建模块，因此二次曲面的分片表示处于非常重要的地位。
　　 本文在前人研究工作的基础上，研究了除双曲抛物面外所有二次曲面的分片有理双二次Bézier曲面精确表示，使其满足整体G1连续性约束。由于二次曲面是通过代数方程表示的，因此需要将它们进行参数化，本文使用了低阶三角函数多项式函数参数化方法。为了统一有理表示及便于线性插值算法执行的需要，我们详细给出了它们的齐次表示形式。论文重点分析了不同类型的曲面在算法设计过程中表现的差异及处理极点问题的方法。我们实现了本文所有的算法，结果表明本文的方法具有可靠的理论保证，算法简单，易于计算机实现。本文所研究的分片有理双二次Bézier曲面表示，为将来基于二次曲面的自由曲面设计、曲面拼接等问题研究提供了扎实的基础。