推广的Hermitean Clifford分析

摘要

复Hermitean Clifford分析是多复变在非交换数学领域的推广，近五年来得到了迅猛发展。正如古典Clifford分析在李群表示论、Atiya-Singer指标定理、奇异积分算子理论、水波方程理论等理论具有重要的应用，Hermitean Clifford分析理论具有潜在的重要性。
　　复Hermitean Clifford分析研究的算子是一个2×2矩阵算子。它是古典Clifford分析中Dirac算子在复Hermitean领域的推广。为了将多复变全纯函数理论纳入到复Hermitean Clifford分析框架中进行研究，全纯函数的值域C总是等同于spinor空间。一个重要的事实是多复变中全纯函数恰是被该2×2矩阵算子零化的复值函数。因此，Hermitean Clifford分析是多复变理论在非交换数学领域的推广。最近，通过四元数Witt基，复Hermitean Clifford分析也被推广到四元数情形。
　　本文的主要思想是将复Hermitean Clifford分析进行两个方面的实质性推广。其一，我们将Hermitean Clifford分析中的2×2矩阵算子通过代数手段合并为一个算子。其好处之一是该算子的零化空间比2×2矩阵算子的零化空间自然地增大，更重要的是复Hermitean Clifford分析因此只研究一个算子，而不是矩阵算子，从而复Hermitean Clifford分析与古典Clifford分析在某种意义下平行，这为深入研究复Hermitean Clifford分析奠定基础。其二，我们研究复Hermitean Clifford分析在其它代数结构的推广，例如我们将复结构推广到超复数结构、仿复数结构、双复数结构、分裂四元数结构。超复数等结构起源于广义相对论的Minkowski时空理论以及双复数量子力学理论，为微分几何理论提供新的代数结构，为分析理论提供新的算子。这些代数结构相应的几何理论正逐渐发展成为研究Minkowski时空数学，特殊几何，黑洞以及超对称等问题的最佳工具。我们建立了超复数Hermitean Clifford分析、仿复数HermiteanClifford分析、双复数Hermitean Clifford分析、分裂四元数Hermitean Clifford分析，主要包括Cauchy积分理论、Bochner-Matinelli积分公式、边界值问题、Hilbert变换、超函数理论。
　　各章内容如下。
　　在第二章中，我们引入关于仿复数的Witt基以及仿复Hermitean Dirac算子，建立相应仿复Hermitean Clifford分析的积分理论，得到了相应的Cauchy积分公式，推广了多复变中的Matinelli-Bochner积分公式。进一步，我们统一了复Hermitean Clifford分析和仿复Hermitean Clifford分析，这种统一是通过引入一个参数统一两个相应的Dirac算子实现的。
　　在第三章中我们建立了双复数Hermitean Clifford分析。双复数HermiteanClifford分析研究双复数Dirac算子:D:C∞(R4n，W4n)→C∞(R4n，W4n)，其中W4n为三个代数的张量积，即双曲四元数(B)，双复数B，Clifford代数R0,4n。算子D为R4n中调和算子的一个平方根，由以下公式引入，D=∑3j=0Kj(6)zj，其中Kj为(B)的基，(6)zj为双复数Clifford代数B(O)R R0,4n扭曲Hermitian Dirac算子。算子D的引入改变了以往在复的或四元数的HermiteanClifford分析流行的观点，即复的或四元数的Hermitean monogenic函数是由一个方程组而非如经典monogenic函数由被Dirac算子零化一个方程确定。与四元数的Hermitean Clifford分析相比较，在双复数情形中扭曲实Clifford向量的Poisson括号一般来说不再为零。对于算子D，我们建立Cauchy积分公式，推广了多复变中的Matinelli-Bochner公式。
　　在第四章中我们把四元数Hermitean Clifford分析扩展到分裂四元数Hermitean Clifford分析。我们引入了分裂四元数Witt基，以及分裂四元数Hermitean Dirac算子D，该算子是域R4n中光滑函数空间的自映射，该光滑函数在双曲四元数(B)，分裂四元数(H)和Clifford代数R0,4n的张量积中取值。D由D=∑3j=0Kj(6)zj定义，其中Kj为B的基，而(6)zj为分裂四元数Clifford代数H(0)RR0,4n中的扭曲Hermitian Dirac算子。我们建立了相应的Cauchy积分公式。
　　在第五章中，在仿复数Hermitean Clifford分析中，通过边界值理论和Hilbert变换，我们刻画了紧集M(C)R2n上Hermitean Dirac算子零化空间的对偶空间。它在广义函数和超函数理论中具有重要的应用。

目录

声明

摘要

第一章 引言

1．1 背景介绍

1．2 主要结论及研究方法

第二章 超复数Hermitean Clifford分析

2．1 预备知识

2．2 超复数Witt基

2．3 超复数Hermitean Dirac算子

2．4 超复数Hermitean Dirac算子的基本解

2．5 超复数Hermitean Cauchy积分公式

2．6 Martinelli-Bochner型公式

第三章 双复数Hermitean Clifford分析

3．1 双复数Clifford代数

3．2 双复数Witt基

3．3 双复数Witt基的矩阵公式化

3．4 双复数Hermitean Dirac算子

3．5 双复数Dirac算子的基本解

3．6 双复数Hermitean Cauchy积分公式

3．7 Martinelli-Bochner型公式

第四章 分裂四元数Hermitean Clifford分析

4．1 预备知识

4．2 分裂四元数Witt基

4．3 分裂四元数Witt基的矩阵公式化

4．4 分裂四元数Hermitean Dirac算子

4．5 分裂四元数Dirac算子的基本解

4．6 分裂四元数Hermitean Cauchy积分公式

4．7 Martinelli-Bochner型公式

第五章 仿复Hermitean Clifford分析中的K?the对偶

5．1 预备知识

5．2 仿复数Witt基

5．3 仿复数Hermitean Dirac算子

5．3．1 仿复数Hermitean Dirac算子

5．3．2 仿复数Hermitean Dirac算子的基本解

5．4 仿复数Hermitean积分表示公式

5．4．1 Borel-Pompeiu公式

5．4．2 Hilbert变换及Plemelj-Sokhotzki公式

5．5 PC-Monogenic函数的零化子

5．6 PC-monogenic函数的对偶

5．7 pC-monogenic函数的对偶

参考文献

致谢

在读期间发表的学术论文与取得的研究成果