五阶mKdV方程的低正则性

摘要

本文主要研究五阶mKdV方程的低正则性。考虑如下Cauchy问题{(e)u-(e)t5xu=u2ux，(0.0.1)u(x，0)=u0（x），针对u0∈Hs（R）和u0∈Hs(T)的不同情形，将分别探讨(0.0.1)在Hs(R）和Hs(T）中的整体适定性。
　　低正则性属于适定性理论的范畴，是非线性色散方程研究中的基本问题。处理它的基本工具是Fourier截断方法和I-方法与多线性乘子理论。第一章是绪论部分，介绍了经典色散方程低正则性的研究进展，引进了一些记号并罗列了相关的定义及引理。
　　第二章考虑R的情形下，Cauchy问题(0.0.1)在负指数Sobolev空间Hs(R)中的整体适定性。利用第一代I-方法和多线性乘子理论证明了当s＞-3/22时，(0.0.1)在Hs(R）中是整体适定的。首先基于三线性估计和压缩映射原理，得到局部适定性的一个变体;其次引入第一代修正能量并将其增量改写成多线性乘子的形式;再次在Bourgain空间中作多线性乘子估计，导出修正能量的增量具有N-1/2形式的界，从而得到了几乎能量等式;最后通过scaring变换和迭代技术获得整体适定性。
　　第三章致力于研究周期Cauchy问题(0.0.1)在能量层次以下的Hs(T)中的整体适定性。采用第二代I-方法证明了当s＞1时，(0.0.1)在Hs(T)中整体适定。本章的难点和创新之处在于:其一是待定乘子M4的结构较为复杂，需要作细致的频率分类讨论才能得出乘子的上界估计;其二是在修正的Bourgain空间Ys中作多线性估计时，依据频率的不同情况证明了一个加细版本的三线性估计，并利用它导出了第二代修正能量的增量具有N-2形式的界，进而也得到了几乎能量等式。
　　第四章对具有零初值的四阶Schr(o)dinger方程和Beam方程分别建立了额外Strichartz估计。基于Foschi关于Schr(o)dinger方程的额外Strichartz估计的讨论，我们利用Kenig-Ponce-Vega发展的驻相分析方法分别得到了高频和低频所满足的额外Strichartz估计式，再根据Littlewood-Paley理论得出结论。
　　第五章总结全文，并介绍了耦合方程组的低正则性、非线性Schr(o)dinger方程在各种特殊流形上的适定性等后续研究工作。

目录

声明

摘要

第一章 绪论

1．1 低正则性的研究概述

1．2 经典色散方程的低正则性的研究进展

1．2．2 导数Schr?dinger方程的低正则性

1．2．3 三阶KdV，mKdV与gKdV方程的低正则性

1．3 本文的主要工作

1．4 预备知识

1．4．1 基本记号

1．4．2 Littlewood-Paley理论

1．4．3 Schr?dinger方程的Strichartz估计

1．4．4 五阶KdV方程的Strichartz估计

1．4．5 四阶Schr?dinger及Beam方程的Strichartz估计

1．5 本文的行文结构

第二章 五阶mKdV方程的低正则性

2．1 引言

2．1．1 物理背景及守恒量分析

2．1．2 五阶KdV型方程低正则性的研究进展

2．1．3 本章主要结论及证明思路

2．1．4 本章的结构安排

2．2 基本工具

2．2．1 Bourgain空间及其主要估计

2．2．2 I-算子简介

2．2．3 Bilinear与Trilinear估计

2．2．4 齐次光滑效应与极大函数估计

2．3 局部适定性和第一代I-方法

2．3．1 五阶mKdV方程的局部适定性

2．3．2 I-方法和第一代修正能量

2．3．3 两个约定

2．4 多线性估计和几乎能量等式

2．4．2 多线性估计

2．4．3 几乎能量等式

2．5 五阶mKdV方程的整体适定性

第三章 五阶mKdV方程周期问题的整体适定性

3．1 引言

3．1．1 分析守恒量

3．1．2 周期KdV型方程低正则性的研究现状

3．1．3 本章主要结论及证明思路

3．1．4 本章的结构安排

3．2 基本工具

3．2．1 离散Fourier分析

3．2．2 工作空间Ys，Zs

3．2．3 I-算子简介

3．2．4 代数恒等式与Strichartz估计

3．2．5 周期情形的Bilinear与Trilinear估计

3．3．1 局部适定性的一个变体

3．3．2 第二代修正能量

3．4 多线性估计和几乎能量等式

3．4．1 估计乘子的逐点上界

3．4．2 改进的Bilinear和Trilinear估计

3．4．3 多线性估计

3．4．4 几乎能量等式

3．5 五阶mKdv方程周期问题的整体适定性

第四章 其它高阶色散方程的额外Strichartz估计

4．1 引言

4．1．1 额外Strichartz估计的研究现状

4．1．2 本章主要结论

4．1．3 本章的结构安排

4．2 预备工具

4．2．1 额外Strichartz估计的工作框架

4．2．2 驻相分析

4．2．3 Foschi关于Schr?dinger方程的额外Strichartz估计

4．3 四阶Schr?dinger方程的额外Strichartz估计

4．3．1 四阶Schr?dinger方程(4．1．6 )

4．3．2 四阶Schr?dinger方程(4．1．8 )

4．4 Beam方程的额外Strichartz估计

第五章 总结与展望

5．1 本文主要结论与技术

5．2 后续研究工作的展望

5．2．1 耦合方程组的低正则性问题

5．2．2 特殊流形上非线性Schr?dinger方程的适定性

5．2．3 四维无理环上的三次非线性Schr?dinger方程

5．2．4 特殊流形上的局部一致适定性问题

参考文献

致谢

在读期间发表的学术论文与取得的其他研究成果