面波和地球自由振荡的本征模理论

摘要

本征模因为涉及到一个物理系统的固有性质，所以对于我们认识和反演振荡系统的结构参数具有独特的意义。研究一个本征系统首先就需要求解其本征频率和本征函数。然而，即便是对一维的介质模型，通常因其所具有的特殊性质（如含有低速层、水层，或者层速递减），使得某些本征模的计算精度很低甚至会漏失掉。面波和地球自由振荡因为研究的尺度不同，导致需要考虑的物理条件有些差异，进而导致数学描述和控制方程的不同，但二者在所面对的问题和处理手段上仍有很多的共性。高频情况下的计算不稳定所带来的数值精度丢失和某些能量集中在模型内部的某些区域的振型计算不准，便是二者会遇到的问题。对于面波来说，人们已经基于最初的Thomson-Haskell矩阵方法作了种种改进来解决计算不稳定问题，而用数值积分法来求解本征值问题，无论是面波还是自由振荡，都转而用“minors”来将原始的常微分方程组化为一个更高阶的形式，但也只是从数学的角度减轻这个问题。最关键的是，常规的求解方式并没有考虑不同本征模的振荡特点，而是一律地使用在自由表面的久期方程来搜索所有的振型。
　　若已知一个均匀层中的解析解或非均匀层中在高频情况下的渐近解，就可借助广义反透射系数，灵活地构造久期方程，来适应不同振型的传播特点，从而可以高精度、快速、稳定地求解所提出的本征值问题。对于面波来说，根据已有的久期函数族的概念，我们用数值实验证明，只需在通常使用的地表久期方程的基础上，加上所有对应于模型低速层、固液边界处的久期方程，便能够搜出给定频率下的所有物理上存在的振型。这样，就能保证在任意深度下借助振型叠加法合成的面波地震图是精确的，这一点对于表达深处激发的地震响应尤为重要。我们还将简正振型的计算拓展到漏能振型，这样在用面波的频散曲线来反演速度结构时，就可以避免因将漏能振型识别为简正振型带来反演的误差;又可将简正振型的频散曲线进行自然延伸，以解决层速递减情况下某些频率段频散曲线缺失的情况。我们还研究了与模型的特殊性相联系的特殊振型，如fundamental modes、trapped modes、Stoneley modes，同时还无意中发现了不完全满足辐射边界条件的辐射振型(radiation modes)。我们对模型存在低速层时如何定义具有物理意义的fundamental mode作出了讨论，指出trapped modes与其同一频率下的邻近振型无论相速度多么靠近，也不会重合成一个振型，这一点可由二者的本征函数看出，证明了频散曲线的不可交叉性。最后还指出，在广义反透射系数和久期函数族的理论框架之下，通过简正振型叠加和对辐射振型的积分，便可合成包含体波震相的完整理论地震图，这是合成完整理论地震图的另一种方法。精确计算一维情况下的本征模也就构成了根据现存的mode-coupling的方法来研究横向非均匀性的基础。
　　我们进一步将广义反透射系数和久期函数族的思想推广到解决高频情况下的自由振荡本征值问题中。在推导出了用Langer近似表达的应用于非均匀球壳的零阶渐近解之后，我们便将面波理论的公式体系移植过来，给出了求解环型振荡和球型振荡的数值算法。通过选择合适的艾里函数的组合来调整解的行为，我们成功地求解了环型振荡的渐近本征解。通过比较，所得的结果不光不存在WKBJ方法因其固有的局限性所导致的频散曲线的不连续跳跃，而且在求解的精度上也有明显的提升;与Mineos精确解相比，则吻合得很好，且在高频情况下，二者的差异更小。这样，就有可能高精度地计算诸如斯通利振型等能量达到地表已经很弱的振型，而且不必像Mineos数值求解那样需要对模型的径向节点加密来提高这些振型的计算精度。这也为一维地球模型自由振荡本征解的计算提供了另一种方法。
　　有了一维情况下的本征函数，我们就可将其作为基函数，通过瑞利-里茨方法来表达三维地球模型的本征解。从不包含自转且为弹性的地球模型出发过渡到包含自转和非弹性的一般地球模型，我们将相关理论进行了逐步展开，整个表述中一致地采用复球谐函数（complex surface spherical harmonics），简洁又不失完整地概述了处理这种偏离球对称因素(aspherities)的微扰理论。通过对某些低阶振型的自耦、群耦和全耦进行计算，且与实际数据的对比，得出不同耦合近似的适用性，并定性地对地球的三维横向非均匀结构对振型的分裂与耦合造成的影响进行了评价。另外，通过对斯通利模的分析，指出精确计算球对称情况下的本征函数对于精确模拟三维理论地震图是很有必要的。最后，指出了对大型耦合矩阵对角化的替代方案，使得对于研究诸如横向密度变化对合成理论地震图的影响所需要的宽频带的耦合计算变得更加可行。

目录

声明

摘要

第1章 绪论

1．1 背景和意义

1．2 研究现状

1．2．1 面波和漏能振型

1．2．2 地球本征模的计算和高频近似

1．2．3 模态分裂与耦合

1．3 本文内容

第2章 垂向非均匀介质中的面波

2．1 特征值问题的引入

2．1．1 基本方程

2．1．2 基本解

2．2 广义反透射系数

2．3 久期函数族概念的提出

2．4 变分原理

2．4．1 能量等分关系

2．4．2 群速度

2．4．3 结构扰动

2．5 振型叠加合成面波地震图

2．5．1 单力点源情况

2．5．2 矩张量源情况

2．6 漏能振型

2．7 应用实例

2．7．1 久期函数族的有效性检验

2．7．2 特殊振型的讨论

2．7．3 漏能振型的应用

第3章 一维地球模型的高频本征模

3．1 基本方程

3．1．1 SNREI地球模型的运动方程

3．1．2 环型模

3．1．3 球型模

3．2 渐近理论

3．3 本征模的计算

3．3．1 解的分析

3．3．2 指数项的处理

3．3．3 τ值的计算

3．3．4 广义反透射系数在球状模型中的应用

3．4 结果比较

第4章 三维地球的模态分裂与耦合

4．1 非旋转的地球模型

4．1．1 厄米算子

4．1．2 正规化

4．1．3 瑞利原理

4．1．4 格林张量

4．1．5 瞬变力的响应

4．1．6 矩张量源的响应

4．1．7 瑞利-里茨方法

4．2 一般的地球模型

4．2．1 控制方程

4．2．2 瑞利原理

4．2．3 正规化

4．2．4 格林张量

4．2．5 矩张量源的响应

4．2．6 瑞利-里茨方法

4．3 微扰理论

4．3．1 一般的弹性扰动

4．3．2 进一步简化和近似

4．3．3 非弹性

4．3．4 横向各向同性

4．3．5 自转

4．4 模态分裂与耦合

4．4．1 扰动矩阵

4．4．2 窄带响应

4．4．3 宽带耦合

4．4．4 应用实例

第5章 结论与展望

参考文献

致谢

在读期间发表的学术论文与取得的其他研究成果