曲面上的预定高斯曲率问题

摘要

本论文考虑了2维紧致无边曲面上的预定高斯曲率问题.确切地说，预定高斯曲率问题是指给定一个带有黎曼度量g0的紧致无边曲面M以及定义在M上的一个光滑函数f，问是否可以找到一个与g0逐点共形的度量g（即存在某个光滑函数u可以将g表示为g=e2u·g0）使得在度量g下的高斯曲率Kg=f？在本论文中，我们将采用共形高斯曲率流的方法来研究这个预定高斯曲率问题.考虑一族依赖于时间参数t的度量g(t)满足如下的演化方程(e)g/(e)t=-2(K-λ(t)·f）·g，其中λ(t)是只依赖于时间的函数.在对预先给定的函数f作适当假设后，我们将证明这个流的短时存在性，长时存在性以及收敛性.更进一步，当时间趋于无穷时得到的极限度量g∞即为预定高斯曲率问题的解.

目录

声明

摘要

第1章 引言

第2章 预定高斯曲率

2．1 预定高斯曲率问题

2．2 方程(2．1．2)有解的必要性条件

2．3：曲率流方法

2．4：主要结果

第3章 流的短时存在性

第4章 流的长时存在性

4．1 H1估计

4．2 H2估计

4．3 H2k(k≥1)估计

第5章 流的收敛性以及收敛速度

第6章 主要结果的证明

参考文献

附录

致谢