分数阶系统的初始条件问题研究

摘要

在现代科学技术的众多领域当中，系统与控制理论的研究极大地提高了人们的生活水平和生产效率，而分数阶微积分的引入，无疑又为相关研究注入了崭新的活力。相较于整数阶的情况而言，一方面对于分数阶系统理论的探索为人们理解自然并创造价值提供了全新的思路，另一方面分数阶系统本身所具有的特殊性也为相关研究的开展带来了重重困难，其中初始条件问题就是最为典型的代表之一。对于分数阶系统初始条件问题的研究虽然极具挑战，但也是分数阶系统科学领域所不得不面对的重点和难点，是分数阶系统研究从理论走向应用的重要基础和必要前提。因此，本文将着重探究分数阶系统的初始条件问题。
　　首先，本文通过引入分数阶系统所特有的越轨现象，明确了分数阶系统初始条件问题的复杂性和重要性。进一步通过从无穷维特性和长记忆特性角度揭示越轨现象发生的内在本质，给出了Riemann-Liouville定义和Caputo定义下分数阶系统伪状态空间模型和无穷维真实状态空间模型之间的关系，同时引入了始前过程和初始化函数的概念，为后续的研究提供了理论基础。
　　其次，本文对非零初始条件下的分数阶数值实现进行了研究。对于分数阶微分的数值实现，给出了不同定义下分数阶微积分的一般计算方法，实现了时间最优意义下的分数阶跟踪微分器设计，同时考虑非零初始条件，明确了始前过程对于分数阶微分计算的影响。对于分数阶系统响应的求解，给出了适用于一般分数阶系统响应求解的数值方法，并针对非零初始条件的情况，提出了具体的系统响应数值实现方案。
　　此外，考虑到分数阶系统的有理逼近为在整数阶框架下研究分数阶系统问题提供了依据，本文从频域辨识的角度出发，运用矢量拟合的方法，实现了从分数阶积分算子到一般分数阶系统的有理逼近，并提出了一种低阶模型的直接逼近方法。同时考虑非零初始条件，分别针对Riemann-Liouville定义和Caputo定义，提出了逼近模型真实初始状态的分配策略，在保证系统频域和时域特性在逼近前后相似性的同时，也保持了系统初始条件的一致性。
　　最后，本文研究了始前过程未知的分数阶系统非零初始条件估计问题。从无穷维特性的角度出发，针对分数阶系统的真实初始状态，提出了一种基于最小二乘的估计方法，实现了对系统输出的在线跟踪，并借助于整数阶状态观测器的概念，完成了分数阶系统真实初始状态观测器的设计。另外，从长记忆特性的角度出发，本文还给出了初始化函数的拟合方法，实现了对分数阶系统始前过程的估计。

目录

声明

摘要

表格索引

插图索引

算法索引

主要符号对照表

1．1 引言

1．2 分数阶系统初始条件问题的研究现状

1．2．1 分数阶数值实现的研究现状

1．2．2 分数阶系统有理逼近的研究现状

1．2．3 非零初始条件估计的研究现状

1．3 本文的内容与结构安排

第2章 基础知识

2．1 分数阶微积分

2．1．1 几个重要的函数

2．1．2 几个常见的定义

2．1．3 几个基本的性质

2．2 分数阶系统

2．2．1 系统描述

2．2．2 无穷维特性

2．2．3 长记忆特性

2．3 本章小结

3．1 引言

3．2 越轨现象的外在表现

3．3 越轨现象的内在本质

3．3．1 无穷维特性的角度

3．3．2 长记忆特性的角度

3．4 本章小结

4．1 引言

4．2 分数阶微分的数值实现

4．2．1 不同定义下分数阶微分的数值计算

4．2．2 分数阶跟踪微分器的实现

4．2．3 分数阶微分计算过程中的初始条件问题

4．3 分数阶系统响应的求解

4．3．1 特定分数阶系统响应的解析求解

4．3．2 一般分数阶系统响应的数值求解

4．3．3 分数阶系统响应求解中的初始条件问题

4．4 本章小结

第5章 非零初始条件下的分数阶系统有理逼近

5．1 引言

5．2 分数阶算子的有理逼近

5．2．1 有限维系统的近似

5．2．2 基于矢量拟合的逼近方法

5．2．3 共轭复极点与复留数的处理

5．3 分数阶系统的有理逼近

5．3．1 传递函数模型的逼近

5．3．2 伪状态空间模型的逼近

5．3．3 低阶模型的直接逼近方法

5．4 系统逼近中的初始状态分配问题

5．5 本章小结

6．1 引言

6．2 真实初始状态的估计

6．2．1 最小二乘估计

6．2．2 输出跟踪

6．3 真实初始状态观测器的实现

6．4 初始化函数的拟合

6．5 本章小结

第7章 结束语

7．1 主要工作

7．2 前景展望

参考文献

附录

致谢

攻读硕士学位期间的学术活动及研究成果