大偏差理论的基本原理：Laplace原理

摘要

随着经济的发展，人们的风险意识不断提升，对一些小概率事件也更加关心。大偏差理论主要研究事发概率为指数型的稀有事件，有许多重要应用，因此作为概率论极限理论重要分支的大偏差理论，受到越来越多学者的广泛重视。在学习了解大偏差理论的相关内容之后，本文对其重要定理和性质进行总结整理，结合自己的心得体会形成一篇读书报告，使大偏差理论能够被更多的人所认识。
　　本文分为三部分，第一部分主要讲述大偏差理论的应用及发展状况。
　　第二部分，首先给出了大偏差原理的定义及满足大偏差原理的两个经典例子，即Cramer定理和Schilder定理。之后通过Varadhan定理及其逆定理，证明了大偏差原理与Laplace原理的等价性。接下来叙述并证明了Laplace原理以及相对熵的基本性质。最后，给出了动态规划方程和最小费用函数的定义以及它们之间的关系。
　　第三部分，主要利用第二部分的知识，证明了独立同分布随机变量的经验测度满足Laplace原理，即Sanov定理。

目录

声明

摘要

第一章 绪论

1．1 研究背景

1．2 大偏差原理发展状况

1．3 文章内容

第二章 Laplace原理

2．1 本章内容介绍

2．2 大偏差原理的一个等价形式

2．3 定理基本结果

2．4 相对熵的性质

2．5 随机控制定理和动态规划

第三章 Sanov定理

3．1 预备知识

3．2 Sanov定理的表示

3．3 表示公式

3．4 Laplace原理下界的证明

3．5 Laplace原理上界的证明

参考文献

致谢