基于区间不确定性的工程反问题方法研究

摘要

反问题可以简单地定义为相对于正问题而言的由果及因的问题。反问题广泛存在于工程，医学，环境，气象，经济等诸多领域。传统的针对工程问题的反问题一般基于确定的参数和系统模型，并采用经典的反求方法进行求解。然而，由于认知水平差异，实验条件限制以及测量数据本身随机性等众多不确定性因素的影响，导致传统的确定性反求方法很难完成对不确定性反问题的处理。因此，发展针对带有不确定性反问题的求解方法对于现代工程技术的发展具有重要的意义。随机不确定性反求方法是一种传统的不确定反求方法，在建模过程中需要大量的不确定信息来构建参数的精确概率密度分布函数。然而对于很多实际工程问题，获得足够的参数样本信息往往成本过高甚至非常困难，进而造成随机不确定性反求方法的适用性受到局限。区间不确定性反求方法是一类较新的不确定反求方法，它利用区间模型来描述不确定性，只需要获得变量的上下边界而不是概率密度分布，大大减少了对于不确定信息的依赖程度，体现了较好的方便性和经济性。区间不确定性反求方法近年来得到越来越多研究者的关注，并且展现出其较强的应用潜力。然而，目前区间不确定性反求方法的研究处于初级阶段，特别是非线性区间反问题的研究在近十年才起步，在分析计算，双层嵌套优化问题的解决等方面还存在一系列的问题亟待解决。　　为此，本文将针对非线性区间反问题展开系统的研究，力求在实用性计算方法方面做出一些具有创新性的研究和探索。反问题的顺利求解依赖于对正问题的反复分析计算，一个高效的针对正问题的分析方法对于反问题的求解具有重要的意义。首先，针对非线性正问题提出了一种高效的区间分析方法，实现了输入区间到输出区间的高效计算。其次，分别针对三种不确定反问题，即输入不确定性反问题，模型不确定性反问题和多源不确定性反问题，提出相应的高效反求策略，解决双层嵌套问题，从而构造出具有工程实用意义的多种高效非线性区间反求方法。基于此，本文研究并完成了如下工作：　　(1)针对一般的不确定性正问题，提出了一种非线性区间分析方法。首先，根据降维的思想将原函数转化为多个一元子函数之和的形式。其次，针对每一个一元子函数，通过二阶泰勒展开方法建立其二阶近似模型，并将其转化为完全二次型模型。再次，采用区间运算中的幂函数运算法则计算其相应的响应区间。最后，将所有一元子函数的响应区间进行组合得到原函数的近似响应区间。通过该方法，函数中每个区间变量只出现一次从而较大程度上缓解了区间运算的过保守问题，并且该方法在求解过程中只需要计算一元函数的一阶和二阶导数，具有较高的计算效率。　　(2)针对输出不确定性反问题，提出了一种非线性区间反求方法。通过转化方法将区间反问题转化为关于计算响应和测量响应之间的误差二范数最小的优化问题。直接求解该问题会遇到外层区间寻优，内层响应上下边界计算的双层嵌套优化，计算效率较低。针对上述问题，提出了一种新的序列方法。每一迭代步，首先在当前区间中点处构建原函数的近似降维模型。其次，基于该近似降维模型构建优化模型对区间半径进行寻优。再次，在当前区间半径下构建降维模型并且构建近似确定性优化模型对区间中点进行寻优。区间中点和半径的交替求解大大增加了反问题计算的收敛效率，减少了区间分析的次数，并且降维区间分析方法在计算函数响应区间时不需要使用耗时的原函数而是能够直接通过区间运算计算函数响应区间，较大程度上提高了输出不确定性反问题的计算效率。　　(3)针对输出不确定性反问题，提出一种新的区间反问题求解框架。在该框架下，求解区间反问题转化为序列求解区间分析和确定性反问题。引入位置向量的概念来建立区间向量中任意一个点向量与区间中点向量和半径向量的关系。每一迭代步，首先计算当前区间向量在每一个函数中最大点和最小点所对应的位置向量。其次，基于该向量构建确定性优化问题。再次，通过传统的优化算法求解该优化问题更新区间。在计算当前区间下的所有函数的位置向量时，没有限制所采用的区间分析方法，因此理论上能够根据实际工程问题采用适当的区间分析方法进行分析计算。甚至，在一个问题中，能够采用不同的区间分析方法来处理不同的函数。因此，称该方法为输出不确定性区间反问题求解框架。在该框架下，双层嵌套优化问题转化为一系列区间分析和确定性反问题序列求解，从而构造出一种高效且适用性强的反求方法。　　(4)针对模型不确定性反问题，提出一种高效非线性区间反问题求解方法。通过转化方法将模型不确定性反问题转化为逆分析问题，再将逆分析问题转化为外层区间不确定性分析，内层确定性区间反问题计算的双层嵌套问题。直接求解该问题的计算效率较低。因此，提出了一种高效的非线性模型不确定性反求方法。首先，将逆函数分析问题转化为多个一元逆函数分析问题。其次，针对每一个一元逆函数分析问题采用自适应策略选取区间中重要的节点构建确定性反问题进行求解。再次，通过计算确定性反问题得到一系列的解，取其中的最大和最小值进行组合得到待反求参数的区间。另外，根据模型不确定性区间反问题的特点，给出一个判断准则，保证自适应算法的收敛性。　　(5)针对模型和输出中都带有区间不确定性的多源不确定性反问题，提出一种高效多源不确定性反求方法。每一迭代步，首先将函数转化为参数不确定性函数和模型不确定函数之和的形式。其次，针对带有不确定性参数和不确定性输入的函数分别进行降维处理。再次，采用区间运算方法计算函数的响应区间。该方法将双层嵌套优化问题转化成了单层问题进行求解，能够较大程度上提高多源不确定性反问题的计算效率。

目录

第 1 章 绪论

1.1 研究背景及意义

1.2 确定性反问题研究

1.3 随机不确定性正/反问题研究

1.3.1 随机不确定性正问题

1.3.2 随机不确定性反问题

1.3.3 随机不确定性反问题目前的困境

1.4 区间不确定性正/反问题

1.4.1 区间不确定性正问题

1.4.2 区间不确定性反问题

1.5 区间反问题目前存在的问题

1.6 本文的研究目标和主要研究内容

第 2 章 一种非线性区间分析方法

2.1 引言

2.2 一般形式的区间分析问题

2.3 区间运算方法

2.4 降维区间分析方法

2.4.1降维区间模型及其误差分析

2.4.2 边界计算

2.5 算例分析

2.5.1 二元函数算例

2.5.2 多元函数算例

2.5.3 环形磁盘问题

2.5.4 可穿戴智能手表问题

2.6 本章小结

第 3 章 基于降维方法的输出不确定性反问题计算方法

3.1 引言

3.2 不确定性反问题的构建

3.3 一阶泰勒展开区间反求方法

3.4 一种高效的非线性区间反求方法

3.4.1 降维计算模型的建立

3.4.2 交替求解方法的构建

3.5 算法流程

3.6 算例分析

3.6.1 数值算例

3.6.2 弹簧连接系统问题

3.6.3 车辆约束系统问题

3.6.4 计算效率比较分析

3.7 本章小结

第 4 章 针对输出不确定性反问题的高效求解框架

4.1 引言

4.2 算法构造

4.2.1 双层嵌套优化问题的转化

4.2.2 区间位置向量

4.2.3 近似确定性优化模型的建立

4.3 迭代机制

4.4 算例分析

4.4.1 数值算例

4.4.2 物理碰撞模型

4.4.3 车辆-行人碰撞事故重建问题

4.5 本章小结

第 5 章 针对模型不确定性反问题的高效计算方法

5.1 引言

5.2 模型不确定性反问题

5.3 算法构建

5.3.1 逆函数及其降维模型

5.3.2 自适应配置方法

5.3.3 确定性逆函数的计算

5.4 算法流程

5.5 算例分析

5.5.1 数值算例

5.5.2 悬臂梁问题

5.5.3 汽车约束系统问题

5.6 本章小结

第 6 章 针对多源不确定性反问题的高效计算方法

6.1 引言

6.2 多源不确定性反问题

6.3 算法构建

6.4 算法流程

6.5 算例分析

6.5.1 数值算例

6.5.2 厚板热传导问题

6.6 本章小结

结论与展望

参考文献

致 谢

附录 A 攻读学位期间所发表的学术论文目录

附录 B 攻读学位期间所主持或参加的科研项目