偏序集上的范畴对偶和拓扑性质的研究

摘要

Domain理论是D.S.Scott在70年代初提出来的,它给计算机函数式语言提供了指称语义.序结构和拓扑结构是在Domain理论中占据重要地位的数学结构,序和拓扑是可以互相生成的.本文在已有的Domain理论和最新研究成果的基础上,讨论了一类新的偏序集的拓扑表示和范畴对偶;给出Z-预分配或Z-预连续偏序集的范畴间的对偶理论;研究一些非Hausdorff拓扑性质.具体内容如下:　　首先,我们定义了一类新的偏序集,它们是有补元的且理想分配的偏序集,我们称之为强布尔偏序集.该定义是不同于布尔偏序集对布尔格的推广.我们在所有素Frink理想集构成的偏序集上赋予一个拓扑,从而得到强布尔偏序集的Stone型的拓扑表示.讨论强布尔偏序集范畴与BP-空间范畴之间的对偶性.　　其次,我们进一步研究了Ern′e引入的Z-预分配和Z-预连续偏序集.当Z是闭子集选择时,我们重点讨论了Z-预分配和Z-预连续偏序集基于伽罗瓦联络应用的对偶定理.例如,所有的Z-预分配偏序集分别带有具有下伴随的弱Z△-连续映射和具有上伴随的保Z-below关系的映射构成的范畴Z-PDG和范畴Z-PDD是对偶的.我们引入了Z0-逼近辅助关系,并对Z-预连续性作出改进,从而可以推广domain与辅助关系之间的经典等价.　　众所周知拓扑空间中的sober性,良滤性和单调收敛性是在Domain理论中被广泛研究的三个重要性质.一些作者还研究了其他一些弱化形式的sober性和良滤性.这些拓扑性质的概念看起来不同.但我们通过引入Θ-fine空间的概念来将这些性质的概念统一化.同时我们还对弱良滤和弱sober空间做进一步研究.我们证明了弱良滤性和弱sober性在局部紧空间中是等价的;在第一可数空间中,弱sober性也等价于弱良滤性.　　最后,基于上述提到的Θ-fine空间,利用这种统一化的方法还引入了一些新的拓扑性质:PF-sober和PF-良滤.我们对PF-sober和PF-良滤空间进行探索,发现它们分别严格弱于弱sober和弱良滤空间,并且在coherence或收缩性质方面不同于其他空间.

目录

声明

第1章 绪论

1.1 研究背景

1.2 主要工作和创新点

1.3 本文记号

第2章 强布尔偏序集的拓扑对偶

2.1 预备知识

2.2 强布尔偏序集上的素 Frink 理想

2.3 强布尔偏序集的拓扑表示

2.4 范畴 SBP 与范畴 BPS 之间的对偶

第3章 广义 Z-连续偏序集的范畴对偶理论

3.1 预备知识

3.2 Z-预分配偏序集的范畴对偶

3.3 Z0-逼近辅助关系

第4章 一些非 Hausdorff 拓扑性质的统一形式

4.1 预备知识

4.2 Θ-fine 空间

4.3 弱良滤空间的性质

4.4 弱 sober 空间的主要性质

第5章 PF-sober 和 PF-良滤空间

5.1 预备知识

5.2 PF-sober 和 PF-良滤空间的性质

结论

参考文献

致谢

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