Sobolev方程的各向异性C-R型非协调有限元分析

摘要

Sobolev发展方程在众多数学物理问题中都有着广泛的应用和被得到深入研究,比如在流体穿过裂缝岩石的渗透理论、土壤中湿气迁移问题、不同介质中的热传导问题等。针对求此类偏微分方程的数值解,学者们提出许多有效的有限元数值模拟方法。然而工作重点几乎是建立在传统的有限元分析理论之上,要求网格剖分满足正则性条件假设,Ritz投影与修正格式同时也作为必要的分析工具。但是随着实际应用中要求的提高,问题的复杂度越来越大,此时仍采用传统的数学建模方法和分析理论来求解变得就会越来越困难,复杂度会快速增加,有时甚至无法求解待定问题或达不到理想的结果。为了对该类方程的研究结果做进一步的推广,本文结合了近几年的研究成果提出了它的一类各向异性非协调有限元分析的课题。基于各向异性网格生成的基本理论和方法的收敛性分析相关的的Sobolev方程的基础上,符合三角形有限元的非逼近问题的一类各向异性Crouzeix-Raviart模型进行讨论。
　　文中借助于各向异性网格剖分的基本理论和结合收敛性分析的相关方法,讨论了Sobolev方程的基于一类各向异性Crouzeix-Raviart型非协调三角形有限元的逼近问题。基于各向异性网格剖分思想,首先构造出合适的剖分单元,然后对方程的求解区域进行各向异性网格剖分,建立半离散和全离散格式及其收敛性分析和误差估计。通过采用目前比较常用的一些技巧和方法,结合构造单元的本身具有的性质,在抛弃传统有限元分析的必要工具 Ritz投影算子的前提下,得到了与利用传统有限元方法相同的逼近估计结果,说明了传统有限元分析中的正则性条件或拟一致性假设不是必要的,同时丰富了各向异性非协调有限元的应用。特别地,本文将各向异性非协调三角形元推广到发展方程求解问题上,具有非常重要的意义。

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第一章 绪论

1.1 有限元方法的背景知识

1.2协调元和非协调元的概述

1.3 各向异性网格剖分的概述

1.4 变网格方法的数学理论

1.5 本文内容安排

第二章 预备知识

2.1 Sobolev空间的一些概念和基本定理

2.2 Sobolev空间常用不等式

2.3 有限元空间的一些概念

2.3.1 变分形式

2.3.2 单元及形状函数

2.3.3 两种有限元子空间

2.3.4 超逼近

2.4 各向异性网格剖分的一些基本定理

第三章 Sobolev方程各向异性非协调有限元分析

3.1 引言

3.2单元构造

3.3 建立Sobolev方程离散格式

3.4 收敛性分析

第四章 总结与展望

参考文献

攻读硕士学位期间的学术活动及成果情况