基于多项式插值样条单位四元数曲线的构造及其应用

摘要

四元数是复数在四维空间的不可交换延伸，是四维结合可除代数，是克利福德代数。由于四元数不满足乘法的交换律，四元数一直没有得到足够的重视，直到上世纪六十年代四元数才在经典力学中才获得实际应用。1985年KenShoemake首次将四元数引入到计算机图形学中。随着计算技术、空间技术的发展，四元数在计算机图形学、计算机动画、计算机视觉和机器入领域有着越来越广泛的应用。
　　本文将四元数方法与样条理论相结合，以刚体旋转的四元数表示和Kim的B样条四元数曲线理论为基础，辅以插值样条调配函数的构造、B样条四元数曲线累和基函数的构造等方法，详细研究了单位四元数曲线对刚体运动的姿态控制和相关应用。本文的主要内容及研究成果如下：
　　(1)在Kim等人的B样条四元数曲线理论基础上，利用实数域上插值样条曲线调配函数的构造方法，构造了单位四元数插值样条曲线。该构造方案与经典的单位四元数均匀B样条插值曲线相比，无需求解四元数非线性方程组去获取B样条曲线控制顶点，即可产生一条插值给定数据点的满足一定连续性的单位四元数样条曲线，提高了计算效率。仿真结果表明所提方法的有效性。
　　(2)由于(1)中方法生成单位四元数曲线形状不能改变，所以以Bézier曲线的端点插值和端点导数性质为基础，构造了两组带有形状参数的插值样条基函数，并在此基础上生成带有形状参数的单位四元数曲线。该单位四元数曲线不仅能精确插值给定的数据点列，而且具有形状的局部修改性。改变一个形状参数的值，仅影响相邻两段单位四元数曲线。与四元数B样条插值曲线相比，不需要考虑非线性方程组求解问题，提高了运算效率。仿真结果表明所提方法的有效性。

目录

声明

致谢

摘要

第一章 绪论

1．1 四元数的发现

1．2 四元数曲线在表示刚体运动姿态中的研究现状

1．3 本文的主要工作和内容安排

1．3．1 本文的主要工作

1．3．2 本文的内容安排

第二章 基础知识

2．1 四元数的定义和性质

2．2 四元数的运算

第三章 基于多项式插值样条的单位四元数曲线

3．1 引言

3．2 一类C1连续多项式插值样条单位四元数曲线

3．2．1 基于多项式插值样条基函数的构造和曲线

3．2．2 基于三次多项式的插值样条单位四元数曲线的构造及连续性

3．2．3 实验结果

3．3 一类C2连续多项式插值样条单位四元数曲线

3．3．1 基于四次多项式的插值样条单位四元数曲线的构造及连续性

3．3．3 实验

3．4 一类C3连续多项式插值样条单位四元数曲线

3．4．1 基于五次多项式插值样条调配函数的构造

3．4．2 基于五次多项式的插值样条单位四元数曲线的构造及连续性

3．4．3 实验

3．5 本章小结

第四章 带有形状参数的单位四元数曲线

4．1 引言

4．2 带有形状参数的C1连续的多项式插值祥条单位四元数曲线

4．2．1 C1连续插值样条调配函数的构造

4．2．2 带形状参数的插值样条单位四元数曲线的构造及连续性

4．2．3 实验

4．3 带有形状参数的C2连续的多项式插值样条单位四元数曲线

4．3．1 C2连续插值样条调配函数的构造

4．3．2 带有形状参数的插值样条单位四元数曲线的构造和连续性

4．3．3 实验

4．4 本章小结

第五章 总结和展望

5．1 本文总结

5．2 今后工作的展望

参考文献

攻读硕士学位期间的学术活动及成果情况