定义在几类解析函数空间上的复合算子列和加权复合算子

摘要

设F是定义在某区域Ω上的函数空间，利用区域Ω到自身的一个映射与F中的函数进行复合运算得到的线性算子，称为F上的复合算子。事实上函数的复合是数学上的一种基本运算，具有悠久的历史，但是由一个固定的函数与某个函数空间上的函数复合作为该空间上的线性算子进行研究则是不久的事情，可以追溯到上世纪60年代中期Eric．Nordgren的工作。 复合算子的研究是解析函数理论与算子理论结合的产物，其目的是利用解析函数论中的方法与理论研究算子理论中的一些基本问题，同时也以算子理论作为工具来探讨函数论中的一些问题。从Eric．Nordgren的工作到现在，关于复合算子的研究引起国内外广大数学工作者的兴趣，以获得了许多深刻的结果。近几十年来，定义在诸如ABMO、VMOA、Bloch型函数空间以及加权}tardv空间、加权Bergman空间、加权Dirichlet空间等一系列解析函数空间上的复合算子被受关注，虽然已经取得了一些比较深刻的结果，但是仍然有大量非常有意义的问题值得去研究。例如：复合算子列的总体紧性、复合算子的本性范数、复合算子乘积的紧性、复合算子谱的描述、复合算子的不变子空间、复合算子的联合谱、复合算子半群以及不同解析函数空间之间的复合算子等等问题。复合算子涉及许多领域，它们出现在乘法算子和一般算子的交换子的研究中，在复动力系统理论中也发挥着重要作用；众所周知DeBranges关于Bieberbach猜想的证明就是依赖于解析函数空间上的复合算子。随着数学工作者的不懈努力和关于复合算子理论专著的不断出现，相信这一新兴领域必然会昂然生机、日趋完善。 本文由三章组成： 第一章介绍复合算子的产生背景、研究意义、发展状况和本文做的一些工作。 第二章主要研究了用拉回测度刻画加权Dirichlet空间之间复合算子列的总体紧性。弄清楚了当解析函数空间为加权Bergman空间时，用拉回测度刻画复合算子列的总体紧性与用广义Nevanlinna计数函数刻画二者的等价性。 第三章研究了加标准权Bergman空间和加指数权Bergman空间上的加权复合算子，利用广义Nevanlinna计数函数和Carleson测度刻画了加权复合算子的有界性、紧性特征。给出了加标准权Bergman空间上的加权复合算子是Hilbert-Schidt类的积分表述。 本文主要有两方面的创新： 第一，用拉回测度给出了加权Dirichlet空间之间复合算子列的总体紧性的刻画。较之用广义Nevanlinna计数函数使得这一问题能够更好地在更广的空间上进行研究。 第二，在同一个定理中同时使用广义Nevanlinna计数函数和Carleson测度来表述定义在加标准权Bergman空间上的加权复合算子有界性、紧性，这不同与以往或者用广义Nevanlinna计数函数或者用Carleson测度来研究复合算子的有界性、紧性，从而可以看到解析函数空间上的加权复合算子要比复合算子复杂的多。

目录

摘要

致谢

第一章绪论

第二章解析函数空间之间复合算子列的总体紧性

第三章解析函数空间上的加权复合算子

参考文献

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