小波多重网格算法在偏微分方程数值解中的应用

摘要

偏微分方程产生于许多工程建模过程中,其计算精度显得尤为重要。在求解偏微分方程时,多重网格方法相比于其他方法有明显的优势。尤其是解线性方程时,用多重网格法不仅收敛速度快、误差小,而且多重网格方法能够同时减小低频分量和高频分量。但是如果遇到不连续或者是高震荡系数时,传统的多重网格计算方法显得不够理想,于是小波与多重网格算法的结合的算法应运而生。　　文中首先简单阐述了多重网格算法和小波分析的知识背景和研究现状,接着阐述了多重网格的基本原理,以及算法的分类和相应的算法流程。最后阐述了小波分析和小波包分析的基本原理,包括Mallat算法和Daubechies小波的尺度函数值的计算方法。小波分析、小波包分析分别和多重网格算法结合得到2种新的算法:　　一、小波瀑布型多重网格方法。多重网格算法中插值算子和限制算子是非常重要的,它直接影响到到多重网格算法的效率和有效性。小波瀑布型多重网格方法是在改变瀑布型多重网格算法的插值算子后得到的一种新算法,其插值过程是通过构造多个插值函数来实现的,而传统的做法是用小波变换矩阵去替换瀑布型多重网格算法中的插值算子(矩阵)。与传统的多重网格算法相比,使用小波瀑布型多重网格方法计算偏微分方程数值解能得到更好的精确度。　　二、小波包多重网格算法。在多重网格算法的前磨光过程中,高频误差衰减的非常快,但也并非是完全消除。多重网格算法直接舍弃了这部分误差,这部分误差也是可以经过处理之后用来校正初值的。文中就是结合小波包分析与多重网格方法,得到小波包多重网格方法,该方法通过处理通过处理多重网格法中舍弃的高频误差来得到更高的精确度。　　试验证明,以上2种算法在提高偏微分方程数值解精确度方面各自都有明显的提高。并且具有实际的应用前景。

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第一章 绪论

§1.1 多重网格方法

§1.2 小波分析

§1.3 小波分析与多重网格算法的结合

§1.4 论文的创新及内容安排

第二章 多重网格算法

§2.1 两重网格法

§2.2 多重网格法

§2.3 瀑布型多重网格法

§2.4 本章小结

第三章 小波分析的基本理论

§3.1 小波多分辨分析

§3.2 小波的分解和重构

§3.3 Daubechies小波多分辨分析（MBA）

§3.4 本章小结

第四章 小波瀑布型多重网格算法

§4.1 多重网格与小波分析的相似性

§4.2 小波瀑布型多重网格

§4.3 数值试验

§4.4 本章小结

第五章 小波包多重网格算法

§5.1 小波包的基本理论

§5.2 小波包多重网格

§5.3 数值试验

§5.4 本章小结

第六章 总结与展望

§6.1 对全文工作的总结

§6.2 对全文工作的展望

参考文献

致谢

作者在攻读硕士学位期间取得的主要研究成果