一些非线性发展方程的渐近行为

摘要

本论文分两大部分，第一部分研究一些耗散系统当时间t→∞时的解的渐近行为，包括一类时滞差分系统的周期解的稳定性和吸引性．第二部分，研究一些非局部反应扩散方程当时问t→T<'*>(爆破时刻)时的解的爆破行为．全文分为六章： 第一章给出一些基本概念和一些后而要用到的结论，特别介绍了本文将要研究的模型和得到的一些主要结果． 第二章，考虑如下的三次复Swift-Hohenberg方程(CSHE)： u<,t>=δu-β△u-γ△<'2>U-μ|U|<'2>U (0.0.1)主要目的在于处理(0.0.1)在Banach空间X<'α>“内的解的渐近性质，这里的基本空间是X=L<'p>,1<∞．本章所用的方法来自于[24]，即首先构造一个X<'α>局部解，然后证明它能唯一地延拓到整个正半轴[0，+∞]，得到解的整体存在性的同时得到整体吸引子的存在性，最后，证明了(0.0.1)在X<'α>空问指数吸引子的存在性，同时得到整体吸引子的分形维数的上界估计．当空间为Hilbert空间时，我们常通过挤压性质得到指数吸引子的存在性．在这里，由于研究的框架足在Banach空间，因此不能利用[39]中所谓的标准方法．本章运用了Efendiev，Miranville，和Zelik在[40]中的一个结果． 第三章，考虑一个所谓的完全双曲相场系统： ?<,t>v+λ(χ)-∫<'∞><,0>k(σ)△v(t-σ)dσ=f,？<,t>χ+∫<'∞><,0>h(ω)w(t-σ)dσ=0， (0.0.2)w=一△χ+β(χ)-λ'(χ)v． 首先通过引进两个新的变晕，它们分别与v和χ的历史有关，把原来的初边值问题放到历史空间中来讨论．在Grasselli和Pata合著的文章[57]中，作者证明了重组的问题在一个适当的无限维相空问生成一个耗散的动力系统，并且证明了整体吸引子的存在性．本章的目的还在于证明指数吸引子的存在性．由于记忆项的出现，使得该系统的耗散性非常弱，因此这个证明并不简单．又由于算子“-？”(定义见第三章)的点谱为空集，所以基于挤压性质的所谓标准的应用于Hilbert空间中的方法在这里仍不能应用，仍然用和第二章一样的方法．另一方面，由于紧嵌入不成立，利用记忆核的衰减性来克服紧性，这里所谓的“尾部函数”的估计是至关重要的． 第四章研究了对应于如下一类含时滞的反应一扩散一对流方程组的差分系统的周期解的渐近行为： 主要目的在于研究对应于(0.0.3)的时间周期解的稳定性和吸引性．当反应项和边界条件仅为局部Lipschitz连续时，应用Brower不动点定理，证明了时间周期解的存在性．当反应项和边界条件为拟单调函数时，应用单调迭代得到周期解或周期拟解的稳定性和吸引性．最后，通过把上下解方法和Jacobi方法或Gauss-Seidel方法结合起来，我们得到了求差分方程组的数值解的组合单调迭代法，并且证明了差分方程组的解收敛于对应的微分方程组的解． 第五章，研究如下非局部的退化抛物型方程组非负解的整体存在性和非存在性. 得到临界爆破指标．证明了如果p<,c>=(p<,1>+p<,2>)(q<,1>+q<,2>)-mn<0，则每个非负解整体存在，然而，如果p<,c0，整体解和爆破解都有可能存在，与所取的初值有关，当p<,c>=0，如果区域允分小，则非负解整体存在，如果区域允分大，它包含了一个充分大的球，则没有整体解存在．本章的最后，我们证明了当m=n=1，p<,1>=q<,1>=0，P<,2>q<,2>＞1时，解整体爆破，并且在区域的紧子集上，得剑一致的爆破率． 第六章，考虑如下非局部退化的抛物型方程的正解u<，t>=f(u>(△u+u(x)∫<,Ω>udx)． (0.0.5)设ψ(x)为椭圆问题一△ψ(X)=l具有零Dirichlet初值条件的唯一解，μ=∫<,Ω>ψ(x)dx．我们得到：如果μ>l且∫<'∞><,δ>1/(sf(s))ds<∞，则(0.0.5)的解爆破，进一步，在一定条件下，解整体爆破；如果(i)μ≤1且∫<'∞><,0>1/f(s))ds=∞或者(ii)。∫<'∞><,δ>1/(sf(s))ds=∞，则解整体存在．对特殊情形．f(u)=u<'p>，0≤l，我们利用一个新的方法得到爆破率的估计，对初值没有添加任何条件．

目录

文摘

英文文摘

声明

Acknowledgements

Chapter 1 Preliminaries

1.1 Introduction

1.2 Some basic concepts and results used in part one

1.3 Some basic concepts and results in part two

Chapter 2 The asymptotic behavior for the complex Swift-Hohenberg equation

2.1 The background for the Swift-Hohenberg equation

2.2 Introduction

2.3 Local existence and uniqueness of the solution

2.4 Some priori estimates

2.5 Global solvability and attractors in Xα scales

2.6 Exponential attractors in Xα scales

Chapter 3 Exponential attractors for a fully hyperbolic phase-field system

3.1 Background

3.2 Dissipative dynamical system

3.3 Problem setting

3.4 Some known results

3.5 Higher-order uniform estimates

3.6 Compact invariant sets

3.7 Exponential attractors

Chapter 4 Stability and attractivity for a coupled periodic difference parabolic system

4.1 Introduction

4.2 Finite difference systems

4.3 Existence of the solution

4.4 Attractivity and stability of periodic solutions

4.5 Combined monotone iterative methods

Chapter 5 Blow-up and global existence for a nonlocal degenerate parabolic system

5.1 Introduction and the main results

5.2 Local existence and comparison principle

5.3 Global existence

5.4 Blow-up results

5.5 Blow-up rate

Chapter 6 Asymptotic blow-up behavior for a nonlocal degenerate parabolic equation

6.1 Introduction and main results

6.2 Locally existence and uniqueness of the solution

6.3 The blow-up criteria

6.4 Blow-up rate estimate

Bibliography

博士期间所完成的论文