半线性椭圆方程边界爆破解的定性性质

摘要

本文的主要目的是研究如下形式的非线性椭圆方程 {△u=b(x)f(u)， x∈Ω，u(x)=∞， x∈(e)Ω，(1)其中Ω∈RN(N≥3)是有界光滑区域，权函数b(x)∈Cα(Ω)(α∈(0,1))非负且在边界附近可能奇异或趋于零，f≥0在[0，∞]局部Lipschitz连续且f（u）/u在{0，∞）递增．类似于(1)的方程来源于黎曼几何，应用统计，数学物理方程，数学生物学和流体动力学等诸多领域，近几十年吸引了大批学者的研究兴趣．　　从生物数学意义来说，u(x)表示居住在Ω中的物种在点x的密度，系数b(x)度量了物种在区域Ω+中由数量压力产生的饱和效应，其中Ω+={x∈Ω∶b(x)＞0}.通常情况下，b(x)是正的有界函数，但是，在本文中，b(x)是非负函数，这是来源于人口模型并且具有实际的生物意义，在区域Ω(Ω)+≠(Φ)中，该物种不受其他物种的影响，而只有扩散效应，因此，区域Ω(Ω)+称作该物种的避难所．此外，随着描述实际生物现象准确度提高，需要b(x)在区域边界为零，从而使得这种情形变得越来越重要，但是也更困难.本文将处理这种情形下方程(1)边界爆破解的定性性质.　　首先，在f和b(x)的满足各种假设条件下，建立了方程(1)边界爆破解的唯一性和渐近行为.具体来说，首先，当f∈RVq(q＞1)，b(x)在(e)Ω附近具有精确渐近行为时，建立了方程(1)边界爆破解的唯一性和渐近行为，该结论推广了Ouyang和xie的一系列结果，在他们的结果中，要求f在无穷远处以类似幂函数uv的形式增长．其次，引入新的函数类RV[ρ1,ρ2](ρ1≤ρ2)并建立了当f∈RV[ρ1,ρ2](1＜ρ1≤ρ2)时方程(1)边界爆破解的渐近行为，值得强调的是，此时只可以得到解在(e)Ω附近增长速率的一个控制．为了克服边界爆破解没有精确边界渐近行为这个困难,我们应用Safonov迭代技术证明其唯一性.随后，无论f∈RVq(q＞1)还是f∈Γ,建立了边界爆破解渐近行为的统一且显式的公式，而不像前期的工作，根据f在无穷远处不同的增长速率分开处理和边界爆破解的渐近行为是通过某一个积分方程或者常微分方程的解来描述．最后，着重处理b(x)在边界附近的衰减速率与f在无穷远处的增长速率之间的竞争．b(x)=0，x∈(e)Ω给问题的研究提出了新的挑战．当f∈Γ时，方程(1)边界爆破解的渐近行为是很棘手的问题，至少当b(x)在边界附近以很快的速率衰减的情形是很棘手的．边界爆破解的渐近行为因b(x)在边界的衰减速率和f在无穷远处的增长速率的不同而不同．这种情形下方程(1)的边界爆破解的渐近行为在2004年由Cirstea作为公开问题提出，后来在2007年由Cirstea本人对该问题做了部分解决.我们也将给出此公开问题的部分解答．　　其次，我们考虑了区域的几何性质对边界爆破解的二阶估计的影响.众所周知，边界爆破解的一阶渐近行为与区域的几何性质无关，但是二阶渐近行为依赖于边界的平均曲率.据我们所知，当f∈Γ时，方程(1)的边界爆破解的二阶渐近行为的结果非常少，已有的结果都是在特殊函数的情形下得到的．我们建立了当f∈Γ或者f∈RVq(q＞1)时边界爆破解的二阶渐近行为．　　最后，我们建立了无论f∈RVq(q＞1)还是f∈Γ时，距离函数对边界爆破解的二阶估计的影响.

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