图像去噪的ROF模型的理论分析与算法研究

摘要

图像是人们获取信息的重要来源之一。由于受到成像、传输以及存储等技术的限制，图像往往会受到噪声的污染而变得模糊，因此，如何去除图像中的噪声，即图像去噪，一直是图像处理领域中的一项具有挑战性和现实意义的工作。　　传统的图像去噪方法是建立在线性系统的基础上运用逆滤波的方法来复原图像，但这种方法会平滑边缘信息，尤其是在噪声较强时，可能会出现“振铃”现象。Rudin，Osher和Fatemi在文献[Nonlinear total variation based noise removal algorithms. Physica D, 1992, 60(1-4): 259-268]中提出了一个经典的全变差（Total Variation, TV）去噪模型，即著名的ROF模型。该模型具有保边界平滑的作用，对图像边缘有更强的保护能力，因此被广泛应用于图像处理的众多领域，如图像复原、图像分割、图像放大等等。在原始文献中，作者没有给出模型解的存在唯一性的理论证明。此外，他们使用显式有限差分方案离散模型对应的梯度下降流方程，但由于 CFL(Courant-Friedrichs-Lewy)条件的限制，这种显式有限差分方案的时间步长必须取很小，导致该算法迭代次数多，运行耗时长。　　针对上述问题，本文从数值算法和理论两方面对ROF模型进行研究。数值算法方面，本文提出了一种数值求解ROF模型的梯度下降流方程的半隐式有限差分方案，该方案允许较大的时间步长。理论方面，证明了ROF模型解的存在唯一性以及新数值算法的稳定性和收敛性。通过对含高斯噪声和泊松噪声的图像的测试，结果表明，与原算法以及其它一些相关算法相比，本文所提算法有更好的去噪效果以及更快的收敛速度。

目录

1 绪 论

1.1 引言

1.2 研究背景及意义

1.2.1 研究现状

1.2.2 研究意义

1.3 主要工作与结构安排

2 预备知识

2.1 Banach空间及其性质

2.2 凸性和下半连续性

2.3 BV(Ω)及其性质

2.4 变分方法和梯度下降流

2.5 数值计算方法

2.5.1 有限差分格式

2.5.2 显式、隐式及半隐式方案

2.5.3 稳定性

2.6 其它定理

3 ROF模型的理论与算法分析

3.1 引言

3.2.1 模型描述

3.2.2 算法描述

3.3 模型解的存在唯一性的新证明

3.4.1 算法描述

3.4.2 算法稳定性的证明

3.4.3 算法收敛性的证明

3.5数值实验结果

3.5.1 高斯噪声

3.5.2 泊松噪声

3.6小结

4 总结与展望

4.1 总结

4.2 展望

参考文献

附录

A.作者在攻读硕士学位期间发表的论文目录

B.学位论文数据集

致谢