代数多重网格方法中的新型插值算子

摘要

在很多复杂物理系统中,偏微分方程是非常重要的数学模型,如何求得其精确数值解是数值计算中的一个重要课题.对于大部分偏微分方程来说,其数值解的求解主要是通过对方程组的离散而转化为大规模稀疏线性方程组的求解问题,迭代法是当前求解该类方程的唯一可行的方法.而早期的迭代法,如Jacobi、Gauss-Seidel、SOR等已经难以在大规模实际问题的计算中取得理想结果.代数多重网格(AMG)方法因其计算量线性相关于未知量个数以及”即插即用”性成为了当今的研究热点.
　　本文对AMG方法的基本算法进行了描述,详细介绍了经典AMG方法的实现. AMG方法主要由细网格上的松弛光滑和粗网格上的校正二个部分构成,而粗网格上的校正过程关键在于粗点的选取以及插值算子的构造.我们重点研究了插值算子的构造,提出了一种构造方法十分简单的插值算子,极大的降低网格复杂度,减少了AMG方法的启动时间.此外,我们对经典插值算子中权重的计算方法进行了改进,改进后的AMG方法拥有更快的收敛速度,而且适用的问题范围更广,尤其对于角尺度变换问题显示出了很好的效果.最后的数值例子表明,我们所提出的插值算子拥有良好的有效性和强壮性.

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第一章 引言

1.1 课题研究背景

1.2 本文主要研究工作

第二章 代数多重网格方法

2.1 代数多重网格方法的基本算法

2.2 经典代数多重网格方法

2.2.1 光滑过程

2.2.2 粗细网格划分

2.2.3 插值算子的构造

2.3 代数多重网格方法的收敛性分析

第三章 代数多重网格算法的改进

3.1 新的插值算子

3.2 对经典插值算子权重计算的改进

3.3 数值实验

3.4 结论

第四章 其他的代数多重网格方法

1、相容性松弛粗化(CR粗化, Coarsening by compatible relaxation)

2、基于元的AMG(AMGe)方法

3、光滑聚集(SA, smoothed aggregation)方法

4、自适应AMG(adaptive AMG)方法

第五章 总结

致谢

参考文献

攻硕期间取得的研究成果