Stokes问题L2局部投影的稳定化方法

摘要

Stokes问题是计算流体动力学中的经典问题,是从流体力学的研究中提出的一类偏微分方程组的边值问题，在化学工程,环境工程等领域有着广泛应用。研究Stokes问题为处理更复杂的Navier-Stokes方程奠定基础。对于Stokes(Navier-Stokes)方程，其混合有限元方法研究一直是热点问题，但传统的混合有限元方法要求速度和压力组成的混合有限元空间满足离散的inf-sup条件，这一条件限制了工程中常用的混合有限元空间的使用。如：P1/P1元，10P/P元等。为了去掉这一条件的限制，多种稳定化方法相继被提出。
　　本文就对Stokes问题如何避免LBB条件的稳定化格式进行研究，得到了如下一些结果：
　　首先，研究了Stokes问题在等阶速度压力有限元空间情况下的稳定性和收敛性，基于L2局部投影思想，对Stokes问题提出了一个强相容的稳定化有限元格式，利用有限元空间的正交性，证明了此格式在速度和压力有限元空间无需满足LBB条件的情况下解的存在性和唯一性，并得到了速度和压力在相应范数下的误差估计。
　　其次，讨论了Stokes问题在有协调限元空间中压力不连续情况下的稳定性和收敛性，给出了L2局部投影稳定化格式，证明了此格式在速度和压力有限元空间中绕开了LBB条件的情况下，解的存在性和唯一性，以及得出了在相应范数下的最优误差估计，进一步得出了压力在L2范数下的误差估计。

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第一章 绪论

1.1 有限元方法的产生与发展

1.2 Stokes问题的研究现状

1.3 本文选题意义和内容结构

第二章 相关预备知识

2.1 Sobolev空间的相关基础知识

2.2 有限元空间的基本理论

2.3 混合有限元的相关知识

2.4 间断有限元的一些知识

第三章 Stokes问题的L2局部投影稳定化方法

3.1 Stokes问题的混合变分形式

3.2 L2局部投影稳定的有限元方法

3.3 进一步的改进

3.4 应用

3.5 本章小结

第四章 Stokes问题压力不连续L2投影稳定化方法

4.1 Stokes问题的变分形式和Galerkin离散

4.2 Stokes问题的稳定化有限元格式

4.3 有限元格式的稳定性和收敛性

4.4 本章小结

第五章 总结与展望

致谢

参考文献

攻硕期间取得的研究成果