非定常Oseen问题的局部投影稳定化有限元方法

摘要

在流体力学中，Navier-Stokes方程是不可压缩流体的控制方程，它是描述粘性流体流动的基本方程，对它的研究一直备受关注，Navier-Stokes方程是偏微分方程组且对流项非线性，所以求解非常困难，而Oseen方程是Navier-Stokes方程的线性形式，因此它是研究Navier-Stokes方程的一个重要基础，对于Oseen方程的方法往往都能推广应用到Navier-Stokes方程中．所以使用混合有限元法研究Oseen方程一直是个热点问题，但是混合有限元求解时常常遇到两个困难：（1）其理论框架要求有限元空间组合满足inf-sup（Babuska-Brezzi）条件；（2）如果出现对流占优就会产生伪振荡．
　　本文将局部投影方法推广应用到非定常对流占优的Oseen方程，使用基于非残差的局部投影稳定化方法构造稳定的混合有限元格式，与RFB方法相比，本文引入的稳定项简单，该格式绕开了inf-sup条件的限制，而且还能克服对流占优．并且证明了此格式只需在投影空间和近似空间满足局部的inf-sup条件下存在唯一解，分别分析了半离散和全离散格式下的稳定性和误差估计．
　　第二章，我们给出了Sobolev空间的定义以及一些重要定理和常用不等式，也介绍了有限元方法的一些基础知识以及相关的性质和基本定理．
　　第三章，对非定常的Oseen方程使用半离散形式，详细介绍了局部投影稳定项和具有正交性的插值，证明了稳定性，并给出了速度和压力的误差估计．
　　第四章，对非定常的Oseen方程使用全离散形式，对时间使用向后差分格式，证明在整个时间上稳定的，并且使用一个具有正交性的插值给出了速度和压力的误差估计．

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第一章 引言

1.1 有限元方法的产生和发展

1.2 选题依据和研究现状

1.3 本文工作

第二章 预备知识

2.1 Sobolev空间及其重要定理

2.2 有限元空间及其性质

2.3 有限元方法中的重要定理

2.4 混合有限元方法

第三章 非定常Oseen问题的半离散局部投影稳定化有限元方法

3.1 非定常的Oseen方程

3.2 离散的Galerkin形式

3.3 局部投影稳定项

3.4 一个特殊的插值

3.5 稳定性和收敛性分析

第四章 非定常Oseen问题的全离散局部投影稳定化有限元方法

4.1 全离散格式

4.2 稳定性

4.3 误差估计

第五章 总结与展望

参考文献

致谢

攻硕期间取得的研究成果