基于Galerkin方法的Helmholtz方程有限差分格式

摘要

Helmholtz方程是一类非常重要的椭圆型偏微分方程,在物理学电磁辐射、地震学和声学等相关研究领域里有着十分广泛应用。大量文献给出了关于方程不同边界的数值解方法,本文在之前研究的基础上,利用 Galerkin变分原理和有限差分结合的方法,推导出新的基于Galerkin的Helmholtz方程有限差分格式。
　　本文首先给出基于变分原理的差分格式的基本理论,为之后推导新的差分格式准备充分的基础。然后针对一维的Helmholtz方程的三种不同形式,在离散区间上的构造合适的基函数,导出其二阶精度的差分格式。之后在其基础上,推到四阶精度的差分格式,并在第一类边界条件下,对一维情况的差分格式做收敛性分析,并根据特征值分析了一维情况下的条件数。
　　对于二维Helmholtz方程,利用一维导出的结论,在离散后的区域上构造基函数,利用拉格朗日插值方法逼近函数,通过数值积分计算导出相应的二维情况的四阶精度的差分格式。讨论了 Dirichlet边界条件下的差分格式,并分析其收敛性和特征值。
　　根据边界条件选取数值例子进行试验,利用正弦变换算法,通过与之前的差分格式比较,分别得到差分格式的误差和精度,分析导出线性方程组矩阵的条件数,分析系统的稳定性,实验数据显示新的差分格式具有较好的稳定性,验证了此差分格式的优越性。

目录

封面

声明

中文摘要

英文摘要

目录

第一章 绪论

1.1 Helmholtz方程背景

1.2 Helmholtz方程的研究方法

1.3 Helmholtz方程的发展前景

第二章 基于变分原理的差分格式

2.1 Lax-Milgram引理和迹定理

2.2 基于Riesz方法的差分格式

2.3 基于Galerkin方法的差分近似

2.4基函数的选取和二阶差分格式推导

2.5 本章小结

第三章 一维Helmholtz方程的四阶差分格式

3.1一维Helmholtz方程的四阶差分格式推导

3.2 边界条件

3.3 收敛性分析

3.4特征值分析

3.5 本章小结

第四章 二维Helmholtz方程的四阶差分格式

4.1二维Helmholtz方程的四阶差分格式推导

4.2 边界条件

4.3 收敛性分析

4.4 特征值分析

4.5 二维Helmholtz方程的正弦变换算法

4.6 数值试验

4.7 本章小结

第五章 结论

致谢

参考文献