子流形的几何刚性定理和微分球面定理

摘要

本文研究子流形的几何与拓扑的若干问题，获得了球面中平行平均曲率子流形的刚性定理，完备子流形的微分球面定理，局部共形平坦流形上 Yamabe流的收敛性定理等结果。本文主要由三部分(第二至第四章)组成。
　　 第一部分证明了球面中具有平行平均曲率子流形的若干外蕴刚性定理。1986年，H.Gauchman[G]获得了关于球面中紧致极小子流形的著名刚性定理：设Mn是n+p维单位球面Sn+p中n维紧致极小子流形，h为M的第二基本形式，若对任意单位切向量u∈UM，有σ(u)≤1/3，其中σ(u)：=‖h(u，u)‖2，则σ(u)≡0，即M是全测地子流形；或者σ(u)≡1/3，并且可完全确定这类子流形的几何结构.在本文第二章中，我们对Gauchman的定理作了如下推广：设Mn是n+p维单位球面Sn+p(1)中n维完备平行平均曲率子流形，H为其平均曲率，h为无迹(化)第二基本形式，σ(u)：=‖h(u，u)‖2，若对任意单位切向量u∈UM，有σ(u)≤1/3+7n+1/24nH2，则σ(u)≡0，即M是全脐子流形；或者σ(u)≡1/3，并且可完全确定M的几何结构。我们进一步证明了下述刚性定理：设Mn是Sn+p(1)中n维紧致的平行平均曲率子流形，h为M的第二基本形式，若对任意单位切向量u，υ∈UM，有‖h(u，u)-h(υ，υ)‖2<4/3，则M是全脐球面Sn(1/√1+H2)。
　　 第二部分研究了完备子流形的微分球面定理.流形的曲率与拓扑是整体微分几何中的核心课题之一。Andersen、Berger、Brendle、Cheeger、Chern、Colding，Gromoll，Gromov，Grove，Hamilton，Klingenberg，Perelman，Schoen，Shiohama、Yau等一批著名学者对这一领域作出了重要的贡献.最近，H.W.Xu、E.T.Zhao和J.R.Gu[XZl，XG]获得了数量曲率拼挤条件下常曲率空间形式中完备子流形的最佳微分球面定理.在第三章中，我们运用S.Brendle的Ricci流收敛性定理，证明了下述结果：如果Mn为单位球面Sn+p(1)中n维完备子流形，且对任意单位切向量u∈UM，有σ(u)<1/3，那么Mn必微分同胚于n维标准球面Sn(1).我们还证明了截面曲率拼挤条件下子流形的微分球面定理。
　　 第三部分研究了一类局部共形平坦黎曼流形上Yamabe流的收敛性问题。B.Chow[Ch]曾证明：若M为具有正Ricci曲率的紧致局部共形平坦流形，则M上正规化Yamabe流的解在C∞范数的意义下收敛到一个常曲率度量.最近，H.W.Xu和E.T.Zhao[XZ2]证明了下述刚性定理：若M为具有常数量曲率的紧致局部共形平坦流形，且其无迹(化)Ricci曲率张量的Ln/2范数小于某一正常数，则M等距于常曲率空间形式.受上述结果的启发，我们证明了下述结果：若M为具有正数量曲率的紧致局部共形平坦流形，其无迹Ricci曲率张量的Lq范数(q>2)小于某一正常数，则正规化Yamabe流的解在C∞范数的意义下收敛到一个常曲率度量.由此得到了关于局部共形平坦黎曼流形的一个微分球面定理。

目录

文摘

英文文摘

第一章 前言

第二章 球面中平行平均曲率子流形的外蕴刚性定理

2.1 主要结果

2.2 基本公式

2.3 平行平均曲率子流形的外蕴刚性定理Ⅰ

2.4 常平均曲率超曲面的刚性定理

2.5 平行平均曲率子流形的外蕴刚性定理Ⅱ

第三章 完备子流形的微分球面定理

3.1 主要结果

3.2 准备知识

3.3 定理的证明

第四章 曲率积分拼挤条件下的Yamabe流

4.1 主要结果

4.2 定理的证明

参考文献

在学期间完成的论文

简历

致谢