一类n+1维乘积型偏微分方程Cauchy问题

摘要

偏微分方程是在讨论自然现象，特别是物理现象的过程中逐步建立起来的。
　　 时至今日，虽然偏微分方程已经发展成了一个理论丰富并且应用广泛的学科，但比起其它一些数学学科来说，还是远远不够完善的。乘积型偏微分方程是偏微分方程的一个重要课题，可以用来解释许多声学和工程力学现象，对材料工程、石油勘探等方面具有非常实际的意义，而在采矿地球物理学中尤其具有非常重要的价值，越来越受到科学家们广泛的关注。这篇文章推广和改进了一些已有的结果，主要研究对象为 维乘积型偏微分方程 问题,首先通过证明方程形式解的一致收敛性，证明了解的存在性，然后运用能量法证明了解的唯一性和连续依赖性。这篇文章分五部分阐述这些问题。
　　 第一部分，介绍了乘积型偏微分方程的研究背景，研究现状以及研究意义。
　　 第二部分，给出本文所要用到的预备知识。
　　 第三部分，研究了 维乘积型双曲型方程 问题。
　　 第一节，讨论了一类 维乘积型双曲型方程 问题解的存在性。首先引入了一个未知函数，将原问题分为两个问题分别讨论。通过分别证明两个问题的形式解的收敛性，证明了原问题解的存在性。
　　 第二节，讨论了 维乘积型双曲型方程 问题解的唯一性与连续依赖性。首先分别推出两个小问题的能量模估计，然后利用本文的方法导出原问题的能量模估计。最后通过能量模估计证明了解的唯一性与连续依赖性。
　　 第四部分，研究了 维乘积型抛物-双曲型方程 问题。
　　 第一节，说明了问题的提出与相关假设和条件。
　　 第二节，研究了问题解的存在性。首先将原问题分为两个问题，然后通过两个问题的形式解推出原问题的级数形式解。通过证明原问题解的收敛性，得到了该问题解的存在性。
　　 第三节，研究了问题解的唯一性和连续依赖性。通过分别讨论两个小问题的能量模估计，推出原问题的能量模估计。然后利用能量模估计证明了解的唯一性和对初值函数和自由函数的连续依赖性。

目录

文摘

英文文摘

声明

1 引言

2 预备知识

3 n+1维乘积型双曲型偏微分方程Cauchy问题

4 n+1维乘积型抛物-双曲型方程Cauchy问题

参考文献

在读期间发表的论文

后 记