高维正态分布的数值计算

摘要

正态分布作为自然界和科学领域最常见的分布,广泛应用于工程技术的各个领域。当前,一维正态分布积分数值计算的理论和算法已趋于成熟。近年来,由于理论和实际的需要,针对多维正态分布积分的计算成为一个热门的研究方向。由于多维正态分布的维数较大,而传统的计算一维或者二维的数值算法大多都是随着维数的增大,计算量呈几何倍的变化,这种算法并不适用于高维的情况。蒙特卡罗和拟蒙特卡罗算法,作为解决高维数值积分的常用算法,走进了人们的视野。
　　本文首先简单地介绍了计算多维正态分布积分的研究现状,阐述了计算多维正态分布积分面临的两个问题:变换形式和计算方法。变换形式方面,介绍了三种不同的变换形式,通过对比并确定了本文所采用的Genz的方法。计算方法方面,详细介绍了蒙特卡罗算法及拟蒙特卡罗算法。通过仿真实验得出,拟蒙特卡罗算法无论在精度上还是时间上较蒙特卡罗算法都有比较大的改进。最后针对现有的拟蒙特卡罗算法,提出了两方面的改进:一方面,当相关系数较大,协方差矩阵接近奇异时,求解出来的值会有较大的误差。通过对积分区域进行有效的排序,可以在一定程度上减少精度的损失;另一方面,在选点的问题上,除了选取已经确定的点列后,还选取了它们在这个空间的对偶点,保证了结果的可靠性。

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第一章 绪论

1.1多维正态分布的定义及其研究背景

1.1.1 正态分布的定义及其研究背景

1.1.2 多维正态分布的定义及研究背景

1.2多维正态分布数值计算的研究现状

1.3 本文结构

第二章 预备知识

2.1 一维正态分布的计算

2.2 多维正态分布积分的变换形式

2.2.1 球坐标变换法

2.2.2 分离变量法

2.2.3 参变量积分法

2.3 蒙特卡罗算法

2.4 拟蒙特卡罗算法

第三章 多维正态分布的计算

3.1 多维正态分布的蒙特卡罗算法

3.2 多维正态分布的拟蒙特卡罗算法

3.2.1 随机化的点阵法

3.2.2 sloan最佳点阵法[49]

3.3 数值试验仿真

第四章 一种改进的多维正态分布计算方法

4.1 对积分区间进行排序的多维正态分布积分的计算

4.2 对偶变数拟蒙特卡罗算法

第五章 总结与展望

致谢

参考文献

研究成果