非线性概率论中的若干极限定理

摘要

本文旨在进一步研究各种非线性概率和期望下的极限定理，推广前人的成果，希望其可以进一步完善非线性概率论的理论体系，并将其更为合理广泛的运用到实际当中。
　　本文共分为六章，其结构及得到的主要结论如下:
　　(Ⅰ)第一章第一节将简单介绍几种非线性概率、期望，以及其之间的联系。第二节中我们将讨论非线性概率空间下随机变量的拟必然收敛的性质，并且得到Kolmogorov不等式、Rademacher不等式等相关结论。
　　(Ⅱ)第二章将引入上期望空间中渐近负相关随机变量的概念，并得到渐近负相关随机变量部分和的Rosenthal不等式。最后，应用该不等式我们将证明一个上概率下的大数定律。
　　(Ⅲ)第三章将给出上期望空间中垂直独立的概念，并将大数定律推广到上概率下的加权大数定律。同时应用该加权大数定律，进一步讨论随机变量列的稳定性、给出不变原理以及负相关随机变量的Marcinkiewicz-Zygmund型大数定律。
　　(Ⅳ)第四章将给出上期望空间下卷积独立性的概念以及Fatou型容度的概念，并在此框架下给出随机变量的极限定理。在本章的最后我们给出卷积独立随机变量列关于Fatou型容度的Borel-Cantelli引理。
　　(Ⅴ)第五章将介绍次线性期望空间下的G-正态分布等概念，并将Peng的中心极限定理进行推广。首先我们将均值条件E[Xn]=ε[Xn]=0放宽为|E[Xn]|+|ε[Xn]|=O（1/n），再应用随机变量截断的方法，放宽随机变量的各阶矩条件，在次线性期望空间上得到两种形式的中心极限定理。
　　(Ⅵ)第六章将给出上-下集值概率以及上-下集值期望的概念，并在上集值空间中给出相应的独立性的定义，同时在该框架下给出关于上集值概率的强大数定律。进一步，将上集值概率空间中的概念推广到上模糊集值概率空间中，最终得到关于上模糊集值概率的大数定律。

目录

声明

摘要

第一章 非线性概率空间简介及相关收敛性质

§1．1 非线性概率空间

§1．1．1 上-下概率与上-下期望

§1．1．2 次线性期望

§1．1．3 Choquet期望

§1．1．4 BSDE与g-期望

§1．2 非线性概率空间中随机变量列的收敛性

§1．2．1 拟必然收敛及相关性质

§1．2．2 Kolmogorov不等式及其应用

§1．2．3 Rademacher不等式及随机变量列的收敛性

第二章 渐近负相关随机变量的Rosenthal不等式

§2．1 前言

§2．2 渐近负相关随机变量及相关引理

§2．3 Rosenthal不等式

§2．4 Rosenthal不等式的应用

第三章 上概率下的加权大数定律

§3．1 前言

§3．2 垂直独立与相关引理

§3．3 上概率下的加权大数定律

§3．4 加权大数定律的应用

§3．4．1 随机变量序列的稳定性

§3．4．2 不变原理

§3．4．3 负相关随机变量的Marcinkiewicz-Zygmund型大数定律

第四章 卷积独立随机变量的相关性质

§4．1 卷积独立概念及基本性质

§4．2 卷积独立随机变量的极限定理

§4．3 卷积独立下的Borel-Cantelli引理

第五章 次线性期望下的中心极限定理

§5．1 前言

§5．2 G-正态分布及相关引理

§5．3 中心极限定理

第六章 上集值概率及上模糊集值概率下的大数定律

§6．1 前言

§6．2 上集值概率及相关性质

§6．3 上集值概率下的强大数定律

§6．4 上模糊集值概率下的大数定律

参考文献

博士在读期间完成论文情况

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