Rankin-Selberg L-函数在特殊点的一次均值

摘要

1837年，Dirichlet首先引入了Dirichlet L-函数利用解析工具来解决数论问题，这标志着解析数论的诞生，这种研究方式在过去一百年里得到了极大的发展，成为现代数论的重要研究方式.现在，L-函数早已不局限于ζ(s)和Dirichlet L-函数，模形式或者自守形式等对象都有其对应的L-函数，这些L-函数促进了对模形式和自守形式的研究.Rankin-Selberg是一类重要的L-函数，在L-函数的研究中有着重要作用.Rankin-Selberg方法是由Rankin和Selberg分别于1939年和1940年独立发现的[1][2]，它最初是用来研究两个模形式的傅里叶系数构成的某个L-函数，后来这种方法也被推广到对于Maass形式的研究.本文的主要讨论对象是一类特殊Rankin-Selberg L-函数.
　　对于一般的L-函数，它在带状区域0≤Rs≤1中的解析性质一直是数论研究的核心课题之一.1993年，Wenzhi Luo[3]证明了一类L-函数在特殊点sj=1/2+itj的一次均值.由此他证明在T充分大时，有如下渐近公式成立:∞∑j=1(wj)L(sj，Q×uj)e-tj/T=2π-2T2+O(T7/4(log T)9)，(0.1)在这个公式里Q是权为4的正规Hecke尖形式，{uj}是一组Hecke-Maass正交基，L（s，Q×uj）是由Q和uj产生的Rankin-Selberg L-函数，tj是uj的谱参数（见2.1节）.由于e-t/T在t＞T时是速降的，所以这个求和区间本质上是[0，T1+ε].这样的结果在解析数论中属于长区间的定理.
　　不仅是Rs=1/2，Rankin-Selberg L-函数在Rs=1上的性质也是十分重要的，譬如Goldfeld-Hoffstein-Lieman[4]证明了L(1,sym2(g))(＞＞)1/logtg，进而得到L(s，sym2(g))在（1-c/logtg，1）上没有实零点，这里c是一个常数，g是一个GL(2)上的Maass形式，tg是它的谱参数.在本文将考察GL(2)×GL(2)上的Rankin-Selberg L-函数在Rs=1上特殊点的一次均值，得到了以下短区间结果:∞∑j=1e-(tj-T)2/M2ωjL（1+itj，f×uj）=2/√πTM+O(T3/2+ε)，(0.2)其中T1/2+ε≤M≤T1-ε，这里的f是一个Hecke尖形式，{uj}是一组Hecke-Maass正交基，tj是uj的谱参数.可以看出，由于e-(t-T)2/M2的速降性，这个求和本质上是在[T-M1+ε，T+M1+ε]上进行的，和T1+ε相比，这个区间是很小的.
　　为了证明该结果，将使用渐近函数方程与Kuznetsov迹公式，从对角项的求和中得到定理的主项，由此将问题转化为对连续谱项与非对角项的求和估计.由于L(s，f×uj)在1+itj这些点上有着良好的性质，可以不断对M的大小进行限制来逐步缩小积分与求和的范围.最终取适当M使主项大于证明中出现的所有余项而完成证明.将借鉴Xiaoqing Li在[5]中的技巧来处理这一问题.

目录

声明

摘要

符号说明

第一章 引言

第二章 预备知识及必要引理

§2．1 预备知识

§2．2 必要引理

第三章 定理1．1的证明

§3．1 渐近L-函数方程

§3．2 对角项Hm，n与连续谱的计算

§3．3 非对角项H+m，n的计算

参考文献

致谢