一类非光滑近哈密顿系统的极限环分支

摘要

Hilbert第16个问题的第二部分是寻求任一n阶多项式系统中极限环的最大个数和分布[8]。多年来，对这个问题的研究已经取得了很多的成果。但是，至今这个问题还没有完全解决。近些年来，非光滑动力系统极限环的研究也有了些长足的发展，取得了一些基础性的成果[9]。
　　 本论文共分三章，各章内容介绍如下：
　　 本文第一章为引言，主要内容是介绍所研究课题的来源与现状，以及本文的研究方法和主要结论。
　　 在第二章我们将运用定性分析和分支理论的方法来研究非光滑近哈密顿系统的极限环分支，其中0<ε<<1，l=2n+1 or2n+2，n和m是任意的正整数，并且a0，a1…al是实数。这个系统是文献[5]中的系统。文献[5]中的定理，分别给出了极限环个数的最大值的一个范围。他们证明了非光滑系统(1)最多有n+m个极限环。进一步，他们给出了系统(1)在m=1时最多有n个极限环，当m=2且n=1时最多有1个极限环。本章的主要目的是给出它的精确值，并且通过来求Abelian积分的展开式和用分析方法研究其根的个数，并用完备的切比雪夫系统方法来证明对于具体的n，m非光滑系统(1)的极限环的最大个数。这一结果改进了[5]的相关结果。
　　 受[5]的启发，我们将研究多项式系统其中m≥1，l=2n+1或l=2n+2，n≥1，0<ε<<1，m，n是任意正整数且a0，a1，…，al是实数。
　　 进一步，我们考虑更为一般的扰动系统其中ai，j(1≤i≤m，0≤j≤l)是实数。其中系统(2)是系统(3)在m=1时的特殊情况。第三章为非光滑近哈密顿系统(2)和(3)的极限环分支的研究。我们运用定性分析和Abelian积分展开式的方法，并将结合使用第二章中的证明方法来研究这两类多项式系统。
　　 然而，我们将举列子来使文献[5]中结论更具体。本文在研究过程中也遇到一些困难，本文试图研究非光滑近哈密顿系统，得出系统(1)在原点的Hopf分支的极限环的最大个数，也就是，若m≥1，系统(1)最多有n个极限环。但是，基于理论基础的有限，尝试多次之后，最终没有研究出来。此外，这部分的主要创新在于下列两点，首先是用切比雪夫行列式方法获得了文献[5]中更多关于系统(1)极限环最大个数，获得新定理；其次，受文献[5]的启发，我们考虑了一类非光滑近哈密顿系统，也就是系统(2)，并将此系统推广到更一般的情况，得到了系统(3)。本文的创新还在于本文的新定理以及引入新的分析技巧来研究Abelian积分展开式及计算其根的个数，得到：
　　 (a)对任意的m≥1，系统(2)在开的周期闭轨族{Lh：0　　 (b)对任意的m≥1，系统(3)在开的周期闭轨族{Lh：0