分数阶导数的推广与分数阶亚当斯方法的误差分析

摘要

自1695年9月30日提出分数阶微积分以来，它已被证实为是非常有用的。在现实中，应用科学家和工程师认识到分数阶微分方程为用分数阶方程建模的各种问题的讨论提供了自然框架，如粘弹性系统，电极-电解质极化作用，电化学，信号处理，扩散过程，控制过程等等。特别是在近几十年中，由于在科学和工程中应用中的潜力，分数阶微积分和分数阶微分方程吸引了越来越多的注意和兴趣。 本论文主要由三章组成。第一章主要介绍分数阶微积分的基础知识，然后讨论了非线性分数阶微分方程解的渐近稳定性。我们这本论文的中心内容是第二章和第三章。在第二章中，我们介绍了定义在复平面上的Ortigueira导数，并且深入研究了它的性质，然后我们把在实直线上的Caputo导数推广到复平面上，并且讨论了它的性质．在第三章中我们考察了非线性分数阶微分方程cDα0,ty(t)=f(t,y(t))的数值解的方法，该方程有初始条件y(k)(0)=y(k0)，k=0，1，…，[α]-1，其中α可为任意正数，微分算子是Caputo导数。 详细地说，第一章我们简单回顾了三类分数阶导数的定义和深入介绍了它们的性质，即Grunwald-Letnikov导数，Riemann-Liouville导数，Caputo导数。我们还简单回顾了分数阶微分方程解的存在性和唯一性定理。此外，我们在本章中建立了关于分数阶微分方程的比较定理，并且给出了非线性分数阶微分方程解的渐近稳定性定理。 第二章我们首先遵循定义在复平面上的从分数阶差分到分数阶导数的方法，得到了著名的柯西积分。其次，我们在Hankel围道积分的帮助下分析了推广的柯西积分，从而给出了Ortigueira导数的概念，我们还深入研究了它的一些有意义的性质。最后，我们把实直线上的Caputo导数推广到复平面上，并且研究了它的性质，并计算了该导数的傅立叶变换和拉普拉斯变换。特别地，我们陈述了具有Riemann-Liouville分数阶导数和Caputo分数阶导数的微分方程的初值问题。这些问题的讨论有助于理解这些定义和分数阶问题的建模。 第三章我们考察了关于非线性分数阶微分方程cDα0,ty(t)=f(t,y(t))的数值解，该方程带有初始条件y(k)(0)=y(k0)，k=0，1，…，[α]-1，这里的α可为任意正数，微分算子是Caputo导数。在本章中，我们首先给出了分数阶Adams数值方法，接着我们列举和证明了一些很有用的结果[5]，最后我们深入研究了该方法在其它条件下分数阶微分方程的误差分析。具体地说我们认真地研究了情形，f∈C3(G)，0<α<1和f∈C2(G)，0<α<1，其中G是合适的解存在区域。另外，如果y有特殊的表达式，相称的误差估计亦被给出。

目录

文摘

英文文摘

声明

Chapter 1 Preface

§1.1 Introduction

§1.2 The definitions of fractional derivative operators

§1.3 Properties of Fractional Derivatives

§1.4 Analysis of Nonlinear Fractional Differential Equations

Chapter 2: Fractional derivatives in complex plane

§2.1 A coherent approach to non-integer order derivatives

§2.2 Generalized fractional derivatives in complex plane

Chapter 3: Error analysis for a fractional Adams method

§3.1 The Adams method

§3.2 Known error analyses for the fractional Adams method

§3.3 Further studies on the fractional Adams method

§3.4 Numerical examples

References

Papers during my study

Acknowledgements