一种新型WENO格式的高精度分数阶导数逼近方法

摘要

本发明公开了一种新型WENO格式的高精度分数阶导数逼近方法，包括在笛卡尔坐标系下，将分数阶微分方程中的Caputo分数阶导数分解为经典二阶导数和弱奇异积分，并利用新型WENO格式离散经典二阶导数，利用高斯‑雅可比积分法求解弱奇异积分；对方程中的时间导数使用三阶TVD Runge‑Kutta离散公式将半离散有限差分格式离散成时空全离散有限差分格式，所述时空全离散有限差分格式为关于时间层的迭代公式，且初始状态值已知；根据时空全离散有限差分格式，通过迭代公式求出下一时间层的近似值，依次得到终止时刻计算区域内的数值模拟值。该方法能在解的光滑区域达到六阶精度，并能在不连续的强间断区域保持基本无振荡的性质。

说明书

技术领域

本发明属于计算流体力学工程技术领域，具体涉及一种新型WENO格式的高精度分数阶导数逼近方法。

背景技术

高精度有限差分和有限体积WENO格式被用于求解含有不连续点的分段光滑解问题。Liu，Osher和Chan等于1994年率先提出第一种三阶有限体积WENO格式，提高了计算结果的利用率并且使得r阶精度的ENO格式提高到r+1阶数值精度。1996年，Jiang和Shu进一步改善了高阶有限差分WENO格式的构造策略，使得数值精度能够提高到2r-1阶数值精度，并设计出新光滑因子和非线性权的构造框架。

由于经典WENO格式的实现过程中，线性权依赖于母模板的空间网格分布，且其求解过程相当复杂。因此，2016年Zhu和Qiu改善了该WENO格式，在维持WENO格式数值精度不减的情况下，随机选取大于零且总和为一的线性权。这些格式已被成功地用到很多应用领域，特别是包含激波和复杂解结构的问题，比如模拟可压缩湍流系统和空气声学系统等。但以上WENO格式都是集中离散一阶空间导数。在2011年，Liu和Shu提出了一种带二阶导数项的六阶有限差分WENO(WENO6)格式的空间离散方法。

分数阶微分方程的数值求解方法在过去几十年中得到了迅速发展。如采用直线法和有限差分法求解空间分数阶微分方程，利用有限元方法求解空间/时间-空间分数阶微分方程，利用谱方法求解时空分数阶扩散方程等。然而，对于不连续分数阶微分方程的数值求解，研究成果一直很少。在2013年，Deng和Du将WENO格式扩展到解可能是不连续的分数阶微分方程。其基本思想是将Caputo导数分解为经典二阶导数和弱奇异积分，然后利用WENO6格式离散二阶导数和利用高斯-雅可比积分求解弱奇异积分。但WENO6格式在实现过程中，对于线性权和非线性权的计算过程十分复杂繁琐，并有较大的局限性。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是针对上述现有技术的不足，提供一种新型WENO格式的高精度分数阶导数逼近方法，能针对解可能是不连续的分数阶微分方程问题，进行高精度数值模拟。

为实现上述技术目的，本发明采取的技术方案为：

一种新型WENO格式的高精度分数阶导数逼近方法，包括：

步骤1.在笛卡尔坐标系下，将分数阶微分方程中的Caputo分数阶导数(1＜α≤2)分解为经典二阶导数和弱奇异积分，并利用新型WENO格式离散经典二阶导数，利用高斯-雅可比积分法求解弱奇异积分；

步骤2.对方程中的时间导数使用三阶TVD Runge-Kutta离散公式将半离散有限差分格式离散成时空全离散有限差分格式，所述时空全离散有限差分格式为关于时间层的迭代公式，且初始状态值已知；

步骤3.根据时空全离散有限差分格式，通过迭代公式求出下一时间层的近似值，依次得到终止时刻计算区域内的数值模拟值。

为优化上述技术方案，采取的具体措施还包括：

上述的步骤1所述分数阶微分方程为：

其中1＜α＜2，x∈[a,b]，c

上述的步骤1包括：

步骤1.1：将分数阶导数分解为二阶导数和弱奇异积分部分，则分数阶微分方程改写为：

步骤1.2：利用具有权函数(1-η)

其中将空间离散成统一长度的网格单元I

步骤1.3：计算数值通量

步骤1.4：将WENO重构值计算结果代入离散经典二阶导数，再结合高斯-雅可比积分法，则方程为含有时间导数项的半离散有限差分格式，最终得到关于时间导数的常微分方程。

上述的步骤1.3所述计算数值通量

步骤1.3.1.选取六个均匀点的大模板T

步骤1.3.2.通过任取三组和为1的线性权；

步骤1.3.3.通过经典的计算公式求出代数多项式p

步骤1.3.4.求出数值通量

上述的步骤1.3.1所述在T

考虑大模板T

h(x)≈q(x)＝a

则有

将b(u(-2Δx))＝b(u

同理求得多项式p

得到每个模板上的多项式p

上述的步骤1.3.2任意取三组和为1的线性权：①γ

上述的步骤1.3.3所述光滑指示器β

其中，m＝1,2,3表示对应模板序号，

上述的步骤1.3.3，利用线性权γ

其中，

上述的步骤1.3.4所述数值通量

本发明具有以下有益效果：

1、本发明给出了笛卡尔网格下解分数阶微分方程问题的新型有限差分WENO高精度数值计算格式的构造过程，有效的解决了可能含有不连续解的分数阶微分方程的数值模拟问题，相比于WENO6格式，本发明新型WENO格式中的相关线性权不再被负值所限制，而是被设为和为一的任意正数，同时极大的简化了非线性权的求解过程，因本发明新型WENO格式具有更简便更易拓展到高维空间的优势。

2、本发明方法能在解的光滑区域达到六阶精度，并能在不连续的强间断区域保持基本无振荡的性质。

附图说明

图1是在实施算例分数阶微分方程问题中，取线性权①和分数阶导数α＝1.2时，在T＝0.001处的数值解模拟图。

图2是在实施算例分数阶微分方程问题中，取线性权①和分数阶导数α＝1.4时，在T＝0.001处的数值解模拟图。

图3是在实施算例分数阶微分方程问题中，取线性权①和分数阶导数α＝1.6时，在T＝0.001处的数值解模拟图。

图4是在实施算例分数阶微分方程问题中，取线性权①和分数阶导数α＝1.8时，在T＝0.001处的数值解模拟图。

图5是在实施算例分数阶微分方程问题中，取线性权②和分数阶导数α＝1.2时，在T＝0.001处的数值解模拟图。

图6是在实施算例分数阶微分方程问题中，取线性权②和分数阶导数α＝1.4时，在T＝0.001处的数值解模拟图。

图7是在实施算例分数阶微分方程问题中，取线性权②和分数阶导数α＝1.6时，在T＝0.001处的数值解模拟图。

图8是在实施算例分数阶微分方程问题中，取线性权②和分数阶导数α＝1.8时，在T＝0.001处的数值解模拟图。

图9是在实施算例分数阶微分方程问题中，取线性权③和分数阶导数α＝1.2时，在T＝0.001处的数值解模拟图。

图10是在实施算例分数阶微分方程问题中，取线性权③和分数阶导数α＝1.4时，在T＝0.001处的数值模解拟图。

图11是在实施算例分数阶微分方程问题中，取线性权③和分数阶导数α＝1.6时，在T＝0.001处的数值解模拟图。

图12是在实施算例分数阶微分方程问题中，取线性权③和分数阶导数α＝1.8时，在T＝0.001处的数值解模拟图。

图13是在实施算例分数阶微分方程问题中，取线性权①，时间步长τ＝0.4h

图14是在实施算例分数阶微分方程问题中，取线性权②，时间步长τ＝0.4h

图15是在实施算例分数阶微分方程问题中，取线性权③，时间步长τ＝0.4h

图16是在实施算例分数阶微分方程问题中，取线性权①，时间步长τ＝0.3h

图17是在实施算例分数阶微分方程问题中，取线性权②，时间步长τ＝0.3h

图18是在实施算例分数阶微分方程问题中，取线性权③，时间步长τ＝0.3h

图19是本发明方法流程图。

具体实施方式

以下结合附图对本发明的实施例作进一步详细描述。

本发明的一种新型WENO格式的高精度分数阶导数逼近方法，其特征在于，包括：

步骤1.在笛卡尔坐标系下，将分数阶微分方程中的Caputo分数阶导数(1＜α≤2)分解为经典二阶导数和弱奇异积分，并利用新型WENO格式离散经典二阶导数，利用高斯-雅可比积分法求解弱奇异积分；

所述分数阶微分方程为：

其中1＜α＜2，x∈[a,b]，c

所述步骤1包括：

步骤1.1：将分数阶导数分解为二阶导数和弱奇异积分部分，则分数阶微分方程可改写为：

步骤1.2：利用具有权函数(1-η)

其中将空间离散成统一长度的网格单元I

步骤1.3：计算数值通量

步骤1.3所述计算数值通量

步骤1.3.1.选取六个均匀点的大模板T

步骤1.3.1所述在T

考虑大模板T

h(x)≈q(x)＝a

则有

将b(u(-2Δx))＝b(u

同理可以求得多项式p

得到每个模板上的多项式p

步骤1.3.2.通过任取三组和为1的线性权，可有效避免复杂的最优线性权的计算过程；

实施例中，取三组和为1的线性权：①γ

步骤1.3.3.通过经典的计算公式求出代数多项式p

光滑指示器β

其中，m＝1,2,3表示对应模板序号，

利用线性权γ

其中，

步骤1.3.4.求出数值通量

所述数值通量

同理，求出数值通量

步骤1.4：将WENO重构值计算结果代入离散经典二阶导数，再结合高斯-雅可比积分法，则方程为含有时间导数项的半离散有限差分格式，最终得到关于时间导数的常微分方程。

步骤2.对方程中的时间导数使用三阶TVD Runge-Kutta离散公式将半离散有限差分格式离散成时空全离散有限差分格式。

将空间离散完毕后，利用三阶TVD Runge-Kutta离散时间导数方法，得到时空全离散有限差分格式，所述时空全离散有限差分格式为关于时间层的迭代公式，且初始状态值已知。

步骤3.根据时空全离散有限差分格式，通过迭代公式求出下一时间层的近似值，依次得到终止时刻计算区域内的数值模拟值。

时空全离散有限差分格式为关于时间层的迭代公式，初始状态值已知，通过迭代公式求出下一时间层的近似值，依次得到终止时刻计算区域内的数值模拟值。

下面给出算例作为本发明所公开方法的具体实施算例。

实施例1：给出以下分数阶微分方程

初始条件为：

边界条件为：

u(-L,t)＝1,u(L,t)＝0； (19)

其中

在图1-12的数值模拟中，取D＝0.02，L＝1,h＝2/N,网格点N＝100，时间步长τ＝0.4h

在图13-15的数值模拟中，取D＝0.2，L＝10,h＝20/N，网格点N＝200，时间步长τ＝0.4h

在图16-18的数值模拟中，取D＝0.2，L＝10,h＝20/N，网格点N＝200，时间步长τ＝0.3h

综上所述，一方面，本发明将Caputo分数阶导数(1＜α≤2)分解为经典二阶导数和弱奇异积分，并利用新型WENO格式离散经典二阶导数，利用高斯-雅可比积分法求解弱奇异积分。构造高精度分数阶导数逼近方法，该方法能在解的光滑区域达到六阶精度，并能在不连续的强间断区域保持基本无振荡的性质。另一方面，新型WENO格式采用的线性权不再需要通过繁冗的数值计算得到最优解，可设为满足和为一的任意正数，相比以前提出的高阶有限差分WENO格式更简便，鲁棒性更强，更易于推广到高维空间的情形。利用新型WENO格式构造的高精度分数阶导数逼近方法能有效地模拟经典数值算例，并充分验证本发明的有效性和可靠性。

以上仅是本发明的优选实施方式，本发明的保护范围并不仅局限于上述实施例，凡属于本发明思路下的技术方案均属于本发明的保护范围。应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理前提下的若干改进和润饰，应视为本发明的保护范围。